Chapitre 6 – Extensions de la notion d’intégrale
Proposition 7
Soient a ∈ R et f une fonction continue positive de [a, b[ dans R, telle que
b
a
f (t)dt
converge, alors
b
a
f (t)dt 0 et
b
a
f (t)dt = 0 si et seulement si f = 0.
Preuve
La démonstration de cette proposition est tout à fait analogue à la démonstration de la proposition correspondante rencontrée plus haut. Nous laissons le soin au lecteur de la réécrire.
❑
Théorème 4 (Critères de comparaison)
Soient f et g deux applications continues de [a, b[ dans [0, ∞[ telles que 0 f g.
• Si
b
a
g(t)dt converge,
b
a
f (t)dt converge et
b
a
f (t)dt
b
a
g(t)dt;
• Si
b
a
f (t)dt diverge , alors
b
a
g(t)dt diverge.
Preuve
Là encore, la démonstration de cet théorème est tout à fait analogue à la démonstration du théorème correspondant rencontré plus haut. Nous laissons le soin au lecteur de la réécrire.
❑
➤ Remarques
• Si la fonction f est négative sur [a, b[, on appliquera les résultats précédents à la fonction−f.
• Il se peut que f ne soit pas positive sur tout l’intervalle [a, b[, mais qu’elle reste positive « au voisinage de b »,
il existe alors c ∈ [a, b[ tel que pour tout t ∈ [c, b[ , f(t) 0, on pourra utiliser les théorèmes précédents pour
déterminer la nature de
b
c
f (t)dt et conclure ensuite grâce à la relation de Chasles.
• Soient f et g deux applications continues de [a, b[ dans R vérifiant l’hypothèse suivante : il existe un réel
c ∈ [a, b[ tel que ∀t ∈ [c, b[ , 0 f (t) g(t).
Si
b
c
g(t)dt converge,
b
a
f (t)dt converge et si
b
c
f (t)dt diverge, alors
b
a
g(t)dt diverge.
Le lecteur vérifiera ce résultat en utilisant la relation de Chasles, et en appliquant le précédent théorème de
comparaison.
• Intégrales dites « de Riemann »
On utilise souvent des fonctions de comparaison de référence dites « fonctions de Riemann » :
t ∈ [a, b[ →
1
(b − t) a ·
(i) Si a = 1, pour x ∈ [a, b[ ,
x
a
1
(b − t) a dt =
1
1 − a
(b − a)
1−a − (b − x)
1−a
Il en résulte que
b
a
1
(b − t) a dt converge si et seulement si a < 1 et, dans ce cas,
b
a
1
(b − t) a =
1
1 − a
(b − a)
1−a ·
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Proposition 7
Soient a ∈ R et f une fonction continue positive de [a, b[ dans R, telle que
b
a
f (t)dt
converge, alors
b
a
f (t)dt 0 et
b
a
f (t)dt = 0 si et seulement si f = 0.
Preuve
La démonstration de cette proposition est tout à fait analogue à la démonstration de la proposition correspondante rencontrée plus haut. Nous laissons le soin au lecteur de la réécrire.
❑
Théorème 4 (Critères de comparaison)
Soient f et g deux applications continues de [a, b[ dans [0, ∞[ telles que 0 f g.
• Si
b
a
g(t)dt converge,
b
a
f (t)dt converge et
b
a
f (t)dt
b
a
g(t)dt;
• Si
b
a
f (t)dt diverge , alors
b
a
g(t)dt diverge.
Preuve
Là encore, la démonstration de cet théorème est tout à fait analogue à la démonstration du théorème correspondant rencontré plus haut. Nous laissons le soin au lecteur de la réécrire.
❑
➤ Remarques
• Si la fonction f est négative sur [a, b[, on appliquera les résultats précédents à la fonction−f.
• Il se peut que f ne soit pas positive sur tout l’intervalle [a, b[, mais qu’elle reste positive « au voisinage de b »,
il existe alors c ∈ [a, b[ tel que pour tout t ∈ [c, b[ , f(t) 0, on pourra utiliser les théorèmes précédents pour
déterminer la nature de
b
c
f (t)dt et conclure ensuite grâce à la relation de Chasles.
• Soient f et g deux applications continues de [a, b[ dans R vérifiant l’hypothèse suivante : il existe un réel
c ∈ [a, b[ tel que ∀t ∈ [c, b[ , 0 f (t) g(t).
Si
b
c
g(t)dt converge,
b
a
f (t)dt converge et si
b
c
f (t)dt diverge, alors
b
a
g(t)dt diverge.
Le lecteur vérifiera ce résultat en utilisant la relation de Chasles, et en appliquant le précédent théorème de
comparaison.
• Intégrales dites « de Riemann »
On utilise souvent des fonctions de comparaison de référence dites « fonctions de Riemann » :
t ∈ [a, b[ →
1
(b − t) a ·
(i) Si a = 1, pour x ∈ [a, b[ ,
x
a
1
(b − t) a dt =
1
1 − a
(b − a)
1−a − (b − x)
1−a
Il en résulte que
b
a
1
(b − t) a dt converge si et seulement si a < 1 et, dans ce cas,
b
a
1
(b − t) a =
1
1 − a
(b − a)
1−a ·
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