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L’ intégrale impropre
b
a
f (t)dt
➤ Remarque
Dans ces exemples, l’étude de l’intégrale impropre est aisée, car on a pu exprimer F à l’aide des « fonctions
usuelles », il n’en est pas toujours ainsi ; dans la suite nous allons rencontrer des critères simples permettant
d’étudier la nature d’une intégrale impropre sans avoir besoin d’expliciter F à l’aide des fonctions usuelles.
2.2 Premières propriétés
Proposition 5 (La relation de Chasles)
Soient [a, b[ un intervalle de R et f une fonction continue de [a, b[ dans R, pour tous c et x
de l’intervalle [a, b[, on a
x
a
f (t)dt =
c
a
f (t)dt +
x
c
f (t)dt, l’intégrale impropre
b
a
f (t)dt
converge si et seulement si
b
c
f (t)dt converge et dans ce cas
b
a
f (t)dt =
c
a
f (t)dt +
b
c
f (t)dt.
Proposition 6
L’ensemble des fonctions continues de [a, b[ dans R dont l’intégrale sur [a, b[ converge est
un sous espace vectoriel de l’espace des fonctions continues de [a, b[ dans R et l’application
f →
b
a
f (t)dt est une forme linéaire sur ce sous espace.
Preuve
Les démonstrations de ces deux propositions sont tout à fait analogues aux démonstrations des propositions
correspondantes du 1.1.2 en remplaçant +∞ par b. Nous laissons le soin au lecteur de les réécrire.
❑
2.3 Cas d’une fonction f à valeurs positives sur [a, b[
Théorème 3
Soient [a, b[ un intervalle de R et f une fonction continue positive de [a, b[ dans R,
b
a
f (t)dt converge si et seulement si l’application F : x ∈ [a, b[ →
x
a
f (t)dt est majorée,
on a alors
b
a
f (t)dt = sup
ax F(x).
Preuve
Si f est à valeurs positives sur [a, b[, l’application F est monotone croissante et l’on sait que :
ou bien elle est majorée sur [a, b[, elle admet alors une limite au point b : l = sup
ax F(x);
ou bien elle n’est pas majorée sur [a, b[ et lim
x→b
F(x) = +∞.
❑
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