Chapitre 6 – Extensions de la notion d’intégrale
• On dit que l’intégrale impropre
b
a
f (t)dt diverge si l’application
F : x ∈ [a, b[ →
x
a
f (t)dt n’admet pas de limite finie lorsque x tend vers b.
On dit aussi que l’intégrale impropre
b
a
f (t)dt n’existe pas, ou encore, qu’elle n’a pas
de sens.
➤ Remarques
• Attention ! Comme dans ce qui précède, une même notation :
b
a
f(t)dt peut être utilisée comme symbole
abstrait, (énoncé raccourci de la question : la fonction : x ∈ [a, b[ →
x
a
f(t)dt a-t-elle une limite finie lorsque
x tend vers b), et aussi pour désigner cette limite, lorsqu’elle existe. Il est clair que l’on peut additionner ou
multiplier des réels, c’est à dire lorsqu’elles existent, les valeurs des intégrales généralisées, mais pas des
symboles !
• Insistons sur le fait que, si la fonction f possède une limite finie au point b, elle admet un prolongement par
continuité f sur [a, b] et l’on sait que
b
a
f (t)dt =
b
a
f (t)dt, la fonction : x ∈ [a, b] →
x
a
f(t)dt est continue
et pour tout x ∈ [a, b[, on a
x
a
f (t)dt =
x
a
f (t)dt, donc l’intégrale impropre
b
a
f(t)dt converge et sa valeur
est égale à
b
a
f (t)dt.
Dans ce cas, on dit parfois que l’intégrale étudiée est « faussement impropre ».
• Certains auteurs parlent d’intégrales généralisées au lieu d’intégrales impropres, la nature de l’intégrale est son
caractère convergent ou divergent.
• À la section précédente, l’intégrale est généralisée parce que l’intervalle considéré n’est pas borné, ici, l’intégrale
est généralisée parce que la fonction considérée sur [a, b[ n’admet pas de limite finie au point b. Avant de se
lancer dans quelque étude que c e soit, il est bon de vérifier que l’intégrale que l’on va étudier est vraiment
impropre.
Exemples
1. Étudions :
1
0
1
√
1 − t 2
dt.
Pour tout x ∈ [0, 1[ ,
x
0
1
√
1 − t 2
dt = Arcsin x.
L’intégrale impropre
1
0
1
√
1 − t 2
dt converge, et de plus,
1
0
1
√
1 − t 2
dt = p/2.
2. Étudions
p/2
0
tan t dt.
x
0
tan t dt = − ln(cos x) et lim
x→p/2
ln(cos x) = −∞
L’intégrale impropre
p/2
0
tan t dt est donc divergente.
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• On dit que l’intégrale impropre
b
a
f (t)dt diverge si l’application
F : x ∈ [a, b[ →
x
a
f (t)dt n’admet pas de limite finie lorsque x tend vers b.
On dit aussi que l’intégrale impropre
b
a
f (t)dt n’existe pas, ou encore, qu’elle n’a pas
de sens.
➤ Remarques
• Attention ! Comme dans ce qui précède, une même notation :
b
a
f(t)dt peut être utilisée comme symbole
abstrait, (énoncé raccourci de la question : la fonction : x ∈ [a, b[ →
x
a
f(t)dt a-t-elle une limite finie lorsque
x tend vers b), et aussi pour désigner cette limite, lorsqu’elle existe. Il est clair que l’on peut additionner ou
multiplier des réels, c’est à dire lorsqu’elles existent, les valeurs des intégrales généralisées, mais pas des
symboles !
• Insistons sur le fait que, si la fonction f possède une limite finie au point b, elle admet un prolongement par
continuité f sur [a, b] et l’on sait que
b
a
f (t)dt =
b
a
f (t)dt, la fonction : x ∈ [a, b] →
x
a
f(t)dt est continue
et pour tout x ∈ [a, b[, on a
x
a
f (t)dt =
x
a
f (t)dt, donc l’intégrale impropre
b
a
f(t)dt converge et sa valeur
est égale à
b
a
f (t)dt.
Dans ce cas, on dit parfois que l’intégrale étudiée est « faussement impropre ».
• Certains auteurs parlent d’intégrales généralisées au lieu d’intégrales impropres, la nature de l’intégrale est son
caractère convergent ou divergent.
• À la section précédente, l’intégrale est généralisée parce que l’intervalle considéré n’est pas borné, ici, l’intégrale
est généralisée parce que la fonction considérée sur [a, b[ n’admet pas de limite finie au point b. Avant de se
lancer dans quelque étude que c e soit, il est bon de vérifier que l’intégrale que l’on va étudier est vraiment
impropre.
Exemples
1. Étudions :
1
0
1
√
1 − t 2
dt.
Pour tout x ∈ [0, 1[ ,
x
0
1
√
1 − t 2
dt = Arcsin x.
L’intégrale impropre
1
0
1
√
1 − t 2
dt converge, et de plus,
1
0
1
√
1 − t 2
dt = p/2.
2. Étudions
p/2
0
tan t dt.
x
0
tan t dt = − ln(cos x) et lim
x→p/2
ln(cos x) = −∞
L’intégrale impropre
p/2
0
tan t dt est donc divergente.
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