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L’ intégrale impropre
b
a
f (t)dt
moins l’infini, on note alors
a
−∞
f (t)dt = l
On dit aussi que l’intégrale existe, ou encore, qu’elle a un sens.
• On dit que l’intégrale impropre
a
−∞
f (t)dt diverge si l’application
F : x ∈ ]−∞, a] →
a
x
f (t)dt n’admet pas de limite finie lorsque x tend
vers moins l’infini. On dit aussi que l’intégrale
a
−∞
f (t)dt n’existe pas, ou encore,
qu’elle n’a pas de sens.
L’étude de l’intégrale
a
−∞
f (t)dt se ramène à celle de
+∞
−a
f (−u)du en utilisant le
changement de variable u = −t.
2. L’ intégrale impropre
b
a
f(t)dt
2.1 Définitions
Soient (a, b) ∈ R
2 (avec a < b) et f une fonction continue de [a, b[ dans R. On sait
que l’application F : x ∈ [a, b[ →
x
a
f (t)dt est la primitive de f sur [a, b[ qui s’annule
en a.
Si la fonction f admet une limite finie en b, en accord avec les théorèmes généraux,
l’intégrale de f sur [a, b[ sera égale à l’intégrale de son prolongement par continuité
sur [a, b].
Si la fonction f admet une limite infinie, ou n’admet pas de limite en b, la primitive F
peut ou non admettre une limite lorsque x tend vers b. On donne alors les définitions
suivantes
Définition 3
Soient [a, b[ un intervalle de R et f une application continue de [a, b[ dans R telle que f
admet une limite infinie, ou n’admet pas de limite en b.
• On dit que l’intégrale impropre
b
a
f (t)dt converge si l’application
F : x ∈ [a, b[ →
x
a
f (t)dt, admet une limite finie l lorsque x tend vers b,
on note alors :
b
a
f (t)dt = l.
On dit aussi que l’intégrale impropre
b
a
f (t)dt existe, ou encore, qu’elle a un sens.
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