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L’intégrale impropre
+∞
a
f (t)dt
➤ Remarque
Attention ! Il est important d’avoir ces deux corollaires présents à l’esprit lorsque l’on veut étudier une intégrale
impropre, cependant ils ne figurent pas au programme de la classe, il faudra donc les démontrer dans chaque cas
particulier où l’on sera amené à les utiliser.
1.4 Thème d’étude : comparaison série-intégrale
Soit f une fonction continue, positive, monotone décroissante sur [0, +∞[ , on se
propose de comparer la nature de la série
n0
f (n) et celle de l’intégrale
+∞
0
f (t)dt.
On peut en effet remarquer que
n
k=0
f (k) =
n+1
0
g(t)dt, la fonction g étant la fonction en escalier définie de la façon suivante : pour tout k ∈ Ú0, nÛ et pour tout
t ∈ [k, k + 1[ g(t) = f (k), et g(n + 1) = f (n + 1).
Exercice 2. Lemme
Soient a un réel, F : [a, +∞[ → R une fonction continue monotone croissante, et (x n ) une
suite de réels de [a, +∞[ strictement croissante telle que lim
n→+∞
x n = +∞, alors F a une limite
finie l lorsque x tend vers l’infini si et seulement si la suite (F(x n )) converge.
Solution. Nous savons déjà que, si lim
x→+∞
F(x) = l, alors lim
n→+∞
F(x n ) = l.
Prouvons que la réciproque est vraie.
D’après les hypothèses, pour tout x ∈ [a, +∞[ , il existe un indice n tel que x n x < x n+1 ,
donc F(x n ) F(x) F(x n+1 ) ; lorsque x tend vers l’infini, il en va de même de x n et de x n+1 ,
donc lim
x→+∞
F(x) = lim
n→+∞
F(x n ).
Exercice 3. Théorème de comparaison
Soit f : [0, +∞[ → R une fonction continue, positive, monotone décroissante. Prouver que
1. La série
n0
f (n) −
n+1
n
f (t)dt
est convergente ;
2. La série
n0
f (n) et l’intégrale
+∞
0
f (t)dt sont de même nature.
Solution. La fonction f est monotone décroissante, minorée par 0, elle admet donc à l’infini,
une limite finie l 0.
Pour tout n ∈ N et pour tout t ∈ [n, n + 1[, on a : f (n + 1) f (t) f (n), et donc
n+1
n
f (n + 1)dt
n+1
n
f (t)dt
n+1
n
f (n)dt
soit f (n + 1)
n+1
n
f (t)dt f (n).
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L’intégrale impropre
+∞
a
f (t)dt
➤ Remarque
Attention ! Il est important d’avoir ces deux corollaires présents à l’esprit lorsque l’on veut étudier une intégrale
impropre, cependant ils ne figurent pas au programme de la classe, il faudra donc les démontrer dans chaque cas
particulier où l’on sera amené à les utiliser.
1.4 Thème d’étude : comparaison série-intégrale
Soit f une fonction continue, positive, monotone décroissante sur [0, +∞[ , on se
propose de comparer la nature de la série
n0
f (n) et celle de l’intégrale
+∞
0
f (t)dt.
On peut en effet remarquer que
n
k=0
f (k) =
n+1
0
g(t)dt, la fonction g étant la fonction en escalier définie de la façon suivante : pour tout k ∈ Ú0, nÛ et pour tout
t ∈ [k, k + 1[ g(t) = f (k), et g(n + 1) = f (n + 1).
Exercice 2. Lemme
Soient a un réel, F : [a, +∞[ → R une fonction continue monotone croissante, et (x n ) une
suite de réels de [a, +∞[ strictement croissante telle que lim
n→+∞
x n = +∞, alors F a une limite
finie l lorsque x tend vers l’infini si et seulement si la suite (F(x n )) converge.
Solution. Nous savons déjà que, si lim
x→+∞
F(x) = l, alors lim
n→+∞
F(x n ) = l.
Prouvons que la réciproque est vraie.
D’après les hypothèses, pour tout x ∈ [a, +∞[ , il existe un indice n tel que x n x < x n+1 ,
donc F(x n ) F(x) F(x n+1 ) ; lorsque x tend vers l’infini, il en va de même de x n et de x n+1 ,
donc lim
x→+∞
F(x) = lim
n→+∞
F(x n ).
Exercice 3. Théorème de comparaison
Soit f : [0, +∞[ → R une fonction continue, positive, monotone décroissante. Prouver que
1. La série
n0
f (n) −
n+1
n
f (t)dt
est convergente ;
2. La série
n0
f (n) et l’intégrale
+∞
0
f (t)dt sont de même nature.
Solution. La fonction f est monotone décroissante, minorée par 0, elle admet donc à l’infini,
une limite finie l 0.
Pour tout n ∈ N et pour tout t ∈ [n, n + 1[, on a : f (n + 1) f (t) f (n), et donc
n+1
n
f (n + 1)dt
n+1
n
f (t)dt
n+1
n
f (n)dt
soit f (n + 1)
n+1
n
f (t)dt f (n).
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