Chapitre 6 – Extensions de la notion d’intégrale
Exercice 1.
Étudier la nature de
+∞
1
ln t
t
2
dt.
L’application t ∈ [1, +∞[ →
ln t
t
2
est continue, positive et lim
t→+∞
(ln t)
2
√
t
= 0, il
existe donc un réel A tel que ∀t ∈ [A, +∞[, (ln t)
2
√
t, donc pour tout t A on
a
ln t
t
2
1
t 3/2 , le calcul montre que
+∞
1
1
t 3/2 dt = 2 ,
+∞
1
ln t
t
2
dt est donc
convergente.
➤ Remarque
Attention ! En dépit de sa simplicité, l’étude systématique des intégrales impropres des fonctions de Riemann
ne figure pas au programme de la classe. On devra donc, chaque fois que l’on utilise une comparaison avec une
fonction de Riemann, ne pas omettre de refaire les calculs permettant (comme à la quatrième remarque ci-dessus)
de déterminer la nature de l’intégrale impropre de Riemann que l’on est conduit à utiliser.
Corollaire 1
Si f et g sont deux applications continues de [a, +∞[ dans [0, +∞[ telles que f (t) ∼
+∞
g(t),
alors
+∞
a
f (t)dt et
+∞
a
g(t)dt sont de même nature.
Preuve
Les fonctions f et g étant équivalentes au voisinage de l’infini, on sait qu’il existe c ∈ [a, +∞[ tel que pour tout
t c, 0
1
2
g(t) f (t)
3
2
g(t).
Si
+∞
a
g(t)dt converge, d’après la relation de Chasles,
+∞
c
g(t)dt converge et pour tout
t c, f (t)
3
2
g(t), donc
+∞
c
f (t)dt converge et
+∞
a
f(t)dt converge.
Si
+∞
a
g(t)dt diverge, d’après la relation de Chasles,
+∞
c
g(t)dt diverge et pour tout t c, f (t)
1
2
g(t),
donc
+∞
c
f (t)dt diverge de même que
+∞
a
f (t)dt.
❑
Corollaire 2
Soient f et g deux applications continues de [a, +∞[ dans [0, +∞[ telles que
f (x) = o
+∞
(g(x)), si
+∞
a
g(t)dt converge, alors
+∞
a
f (t)dt converge.
Preuve
Puisque f(x) = o
+∞
(g(x)), il existe un réel A tel que ∀t ∈ [A, +∞[, 0 f(t) g(t), il suffit alors d’appliquer le
résultat de la remarque ci-dessus.
❑
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