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L’intégrale impropre
+∞
a
f (t)dt
Théorème 2 (Critères de comparaison)
Soient f et g deux applications continues de [a, +∞[ dans [0, +∞[ telles que 0 f g.
• Si
+∞
a
g(t)dt converge, alors
+∞
a
f (t)dt converge et
+∞
a
f (t)dt
+∞
a
g(t)dt
• Si
+∞
a
f (t)dt diverge , alors
+∞
a
g(t)dt diverge.
Preuve
Si
+∞
a
g(t)dt converge, pour tout x ∈ [a, +∞[, on a
x
a
f (t)dt
x
a
g(t)dt
+∞
a
g(t)dt.
D’après les critères de comparaison,
+∞
a
f (t)dt converge et, par passage à la limite des inégalités, on a :
+∞
a
f (t)dt
+∞
a
g(t)dt.
Pour tout x ∈ [a, +∞[,
x
a
g(t)dt
x
a
f (t)dt. Si
+∞
a
f(t)dt diverge, lim
x→+∞
x
a
f(t)dt = +∞ donc
lim
x→+∞
x
a
g(t)dt = +∞, l’intégrale impropre diverge.
❑
➤ Remarques
• Si la fonction f est négative sur [a, +∞[, on appliquera les résultats précédents à la fonction−f.
• Il se peut que f ne soit pas positive sur toute la demi droite [a, +∞[, mais qu’elle reste positive « au voisinage
de l’infini », il existe alors c ∈ [a, +∞[ tel que pour tout t ∈ [c, +∞[, f(t) 0, on pourra utiliser les théorèmes
précédents pour déterminer la nature de
+∞
c
f (t)dt et conclure ensuite grâce à la relation de Chasles.
• Soient f et g deux applications continues de [a, +∞[ dans R vérifiant l’hypothèse suivante : il existe un réel A tel
que ∀t ∈ [A, +∞[, 0 f (t) g(t). Si
+∞
a
g(t)dt converge,
+∞
a
f(t)dt converge et si
+∞
a
f(t)dt diverge,
alors
+∞
a
g(t)dt diverge.
Le lecteur vérifiera ce résultat en utilisant la relation de Chasles : F(x) =
A
a
f(t)dt +
x
A
f(t)dt, et
G(x) =
A
a
g(t)dt +
x
A
g(t)dt , et en appliquant le précédent théorème de comparaison.
• Intégrales dites « de Riemann »
Pour appliquer les théorèmes de comparaison, on fait très souvent appel à des intégrales impropres
de référence, en particulier à celles qui font intervenir les fonctions « dites fonctions de Riemann » :
t ∈ [1, +∞[ →
1
t a ·, et dont la nature fait l’objet des lignes qui suivent.
– Si a = 1, pour tout x ∈ [1, +∞[, on a
x
1
1
t a dt =
1
1 − a
(x
1−a − 1),
+∞
1
1
t a dt converge si et seulement
si a > 1, et, dans ce cas
+∞
1
1
t a dt =
1
a − 1
·
– Si a = 1, pour tout x ∈ [1, +∞[,
x
1
dt
t
= ln x, l’intégrale est donc divergente.
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L’intégrale impropre
+∞
a
f (t)dt
Théorème 2 (Critères de comparaison)
Soient f et g deux applications continues de [a, +∞[ dans [0, +∞[ telles que 0 f g.
• Si
+∞
a
g(t)dt converge, alors
+∞
a
f (t)dt converge et
+∞
a
f (t)dt
+∞
a
g(t)dt
• Si
+∞
a
f (t)dt diverge , alors
+∞
a
g(t)dt diverge.
Preuve
Si
+∞
a
g(t)dt converge, pour tout x ∈ [a, +∞[, on a
x
a
f (t)dt
x
a
g(t)dt
+∞
a
g(t)dt.
D’après les critères de comparaison,
+∞
a
f (t)dt converge et, par passage à la limite des inégalités, on a :
+∞
a
f (t)dt
+∞
a
g(t)dt.
Pour tout x ∈ [a, +∞[,
x
a
g(t)dt
x
a
f (t)dt. Si
+∞
a
f(t)dt diverge, lim
x→+∞
x
a
f(t)dt = +∞ donc
lim
x→+∞
x
a
g(t)dt = +∞, l’intégrale impropre diverge.
❑
➤ Remarques
• Si la fonction f est négative sur [a, +∞[, on appliquera les résultats précédents à la fonction−f.
• Il se peut que f ne soit pas positive sur toute la demi droite [a, +∞[, mais qu’elle reste positive « au voisinage
de l’infini », il existe alors c ∈ [a, +∞[ tel que pour tout t ∈ [c, +∞[, f(t) 0, on pourra utiliser les théorèmes
précédents pour déterminer la nature de
+∞
c
f (t)dt et conclure ensuite grâce à la relation de Chasles.
• Soient f et g deux applications continues de [a, +∞[ dans R vérifiant l’hypothèse suivante : il existe un réel A tel
que ∀t ∈ [A, +∞[, 0 f (t) g(t). Si
+∞
a
g(t)dt converge,
+∞
a
f(t)dt converge et si
+∞
a
f(t)dt diverge,
alors
+∞
a
g(t)dt diverge.
Le lecteur vérifiera ce résultat en utilisant la relation de Chasles : F(x) =
A
a
f(t)dt +
x
A
f(t)dt, et
G(x) =
A
a
g(t)dt +
x
A
g(t)dt , et en appliquant le précédent théorème de comparaison.
• Intégrales dites « de Riemann »
Pour appliquer les théorèmes de comparaison, on fait très souvent appel à des intégrales impropres
de référence, en particulier à celles qui font intervenir les fonctions « dites fonctions de Riemann » :
t ∈ [1, +∞[ →
1
t a ·, et dont la nature fait l’objet des lignes qui suivent.
– Si a = 1, pour tout x ∈ [1, +∞[, on a
x
1
1
t a dt =
1
1 − a
(x
1−a − 1),
+∞
1
1
t a dt converge si et seulement
si a > 1, et, dans ce cas
+∞
1
1
t a dt =
1
a − 1
·
– Si a = 1, pour tout x ∈ [1, +∞[,
x
1
dt
t
= ln x, l’intégrale est donc divergente.
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