Chapitre 6 – Extensions de la notion d’intégrale
Pour tout réel x ∈ [
3
4
, +∞[, il existe un entier n tel que x
n +
1
4 n
ainsi
x
3
4
f (t)dt
n+
1
4 n
3
4
f (t)dt
+∞
n=1
n
2
4 n
l’intégrale
+∞
3
4
f (t)dt est donc convergente. (Voir ci-dessous le théorème 1.)
En résumé, la condition lim
t→+∞
f (t) = 0 est une condition ni nécessaire, ni suffisante pour que
+∞
a
f (t)dt converge.
1.3 Cas d’une fonction à valeurs positives
Théorème 1
Soient a ∈ R et f une fonction continue positive de [a, +∞[ dans R,
+∞
a
f (t)dt converge
si et seulement si l’application F : x ∈ [a, +∞[ →
x
a
f (t)dt est majorée. On a alors
+∞
a
f (t)dt = sup
ax<+∞
F(x)
Preuve
Si f est à valeurs positives sur [a, +∞[, l’application F est monotone croissante et l’on sait que :
ou bien elle est majorée sur [a, +∞[, elle admet alors une limite finie lorsque x tend vers l’infini :
l = sup
ax<+∞
F(x).
ou bien elle n’est pas majorée sur [a, +∞[, et lim
x→+∞
F(x) = +∞.
❑
Proposition 4
Soient a ∈ R et f une fonction continue positive de [a, +∞[ dans R, telle que
+∞
a
f (t)dt
converge, alors
+∞
a
f (t)dt 0 et
+∞
a
f (t)dt = 0 si et seulement si f = 0.
Preuve
Pour tout x ∈ [a, +∞[, on sait que
x
a
f (t)dt 0.
Par passage à la limite, on a donc
+∞
a
f (t)dt 0.
Supposons que
+∞
a
f (t)dt = 0. Sachant que
x
a
f (t)dt
+∞
a
f(t)dt, on a alors pour tout x ∈ [a, +∞[,
x
a
f (t)dt = 0 et, puisque f est continue positive, ∀t ∈ [a, x], f(t) = 0 c’est-à-dire f = 0.
❑
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