© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
L’intégrale impropre
+∞
a
f (t)dt
Exemple
On considère la fonction f : [
3
4
, +∞[ → R définie de la façon suivante :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
f (t) = 4
n n
2
t − (n −
1
4 n )
si t ∈ [n −
1
4 n , n], n ∈ N
∗
f (t) = 4
n n
2
(n +
1
4 n ) − t
si t ∈ [n, n +
1
4 n ], n ∈ N
∗
f (t) = 0
sinon
On trouvera ci-après une partie de la représentation graphique de la fonction f .
O
x
y
n
2
n
n −
1
4 n
n +
1
4 n
T n
Figure 6.1 Graphe de f
On note que la fonction f n’a pas de limite à l’infini, et même, qu’aux points de coordonnées
entières, elle est « grande » (f (n) = n
2 ).
On a
n+
1
4 n
3
4
f (t)dt =
n
k=1
k+
1
4 k
k−
1
4 k
f (t)dt
Or,
k+
1
4 k
k−
1
4 k
f (t)dt est égale à l’aire de T k soit
k
2
4 k ,
on en déduit que
n+
1
4 n
3
4
f (t)dt =
n
k=1
k
2
4 k .
Étudions la nature de la série
n1
n
2
4 n . On sait que lim
n→+∞
n
2
2 n = 0, il existe donc n 0 ∈ N tel que
pour tout n n 0 ,
n
2
4 n
1
2 n .
Or, la série géométrique
n1
1
2 n est convergente et par comparaison la série
n1
n
2
4 n converge.
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