Chapitre 6 – Extensions de la notion d’intégrale
Proposition 2
L’ensemble des fonctions continues de [a, +∞[ dans R dont l’intégrale sur [a, +∞[
converge est un sous espace vectoriel de l’espace des fonctions continues de [a, +∞[ dans
R et l’application f →
+∞
a
f (t)dt est une forme linéaire sur ce sous espace.
Preuve
L’ensemble des fonctions continues de [a, +∞[ dans R dont l’intégrale sur [a, +∞[ converge n’est pas vide, il
contient la fonction : t ∈ [a, +∞[ → 0.
Soient f, g deux fonctions continues de [a, +∞[ dans R dont l’intégrale sur [a, +∞[ converge. Quels que soient
les réels l et m , d’après les propriétés de linéarité des limites, on a
x
a
lf(t) + mg(t)
dt = l
x
a
f(t)dt + m
x
a
g(t)dt,
on en déduit que
lim
x→+∞
x
a
lf(t) + mg(t)
dt = l
+∞
a
f(t)dt + m
+∞
a
g(t)dt,
ainsi
+∞
a
lf(t) + mg(t)
dt = l
+∞
a
f(t)dt + m
+∞
a
g(t)dt.
❑
Proposition 3
Soient a ∈ R et f une fonction continue de [a, +∞[ dans R, telle que
+∞
a
f (t)dt
converge. Si f admet en plus l’infini, une limite finie l, une condition nécessaire pour
que
+∞
a
f (t)dt converge est que l = 0.
Preuve
Si l = 0, quitte à changer f en −f, on peut supposer l > 0. Il existe alors un réel c tel que
∀t c, f (t)
l
2
, et ∀x c,
x
c
f (t)dt
x
c
l
2
dt, on a
x
c
l
2
dt =
l
2
(x − c), et lim
x→+∞
x − c = +∞,
l’intégrale n’est donc pas convergente.
❑
➤ Remarques
• Attention
Si lim
t→+∞
f (t) = 0, on ne peut rien dire au sujet de la convergence de
+∞
a
f(t)dt. Voici deux exemples bien
simples :
1.
+∞
1
1
t
dt, pour tout x ∈ [1, +∞[,
x
1
1
t
dt = ln x, donc l’intégrale impropre étudiée diverge.
2.
+∞
1
1
t 2 dt, pour tout x ∈ [1, +∞[,
x
1
1
t 2 dt = 1 −
1
x
, et lim
x→+∞
1
x
= 0, donc l’intégrale impropre étudiée
converge.
• Il existe des fonctions continues f de [a, +∞[ dans R telles que :
1. f n’a pas de limite à l’ infini ;
2.
+∞
a
f (t)dt converge.
comme le montre l’exemple ci-dessous :
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