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L’intégrale impropre
+∞
a
f (t)dt
• Si l < 0, lim
x→+∞
e
−lx = +∞, l’intégrale impropre étudiée diverge.
• Si l = 0,
x
0
dt = x et l’intégrale impropre étudiée diverge.
En résumé
+∞
0
e
−lt dt converge si et seulement si l > 0 on a alors
+∞
0
e
−lt dt =
1
l
·
4.
+∞
1
1
√
t
dt·
Pour tout x ∈ [0, +∞[,
x
1
1
√
t
dt = 2(
√
x − 1) et lim
x→+∞
√
x = +∞, l’intégrale impropre
étudiée n’est donc pas convergente.
➤ Remarque
Dans tous ces exemples, l’étude de l’intégrale impropre est aisée, car on a pu exprimer F à l’aide des « fonctions
usuelles », il n’en est pas toujours ainsi ; dans la suite nous allons rencontrer des critères simples permettant
d’étudier la nature d’une intégrale impropre sans avoir besoin d’expliciter F à l’aide des fonctions usuelles.
1.2 Premières propriétés
Proposition 1 (Relation de Chasles)
Soient a ∈ R et f une fonction continue de [a, +∞[ dans R , pour tout c de la demidroite [a, +∞[ l’intégrale impropre
+∞
a
f (t)dt converge si et seulement si
+∞
c
f (t)dt
converge, on a alors :
+∞
a
f (t)dt =
c
a
f (t)dt +
+∞
c
f (t)dt
Preuve
Pour tout x ∈ [a, +∞[,
x
a
f (t)dt =
c
a
f (t)dt +
x
c
f (t)dt, donc
x
a
f(t)dt a une limite finie lorsque x tend vers
l’infini si et seulement si
x
c
f (t)dt a une limite finie lorsque x tend vers l’infini, on a alors
+∞
a
f (t)dt =
c
a
f (t)dt +
+∞
c
f(t)dt
❑
Nous aurons très souvent recours à cette propriété, car un « bon choix » de c peut
rendre l’étude de
+∞
c
f (t)dt plus simple que celle de
+∞
a
f (t)dt.
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