Chapitre 6 – Extensions de la notion d’intégrale
• On dit que l’intégrale impropre
+∞
a
f (t)dt diverge si l’application
F : x ∈ [a, +∞[ →
x
a
f (t)dt n’admet pas de limite finie lorsque x tend
vers plus l’infini.
On dit aussi que l’intégrale
+∞
a
f (t)dt n’existe pas, ou encore, qu’elle n’a pas de sens.
➤ Remarques
• Attention
Une même notation :
+∞
a
f (t)dt est utilisée comme symbole abstrait, (énoncé raccourci de la question : la
fonction : x ∈ [a, +∞[ →
x
a
f (t)dt a-t-elle une limite finie lorsque x tend vers plus l’infini), et aussi pour
désigner, lorsqu’elle existe, lim
x→+∞
x
a
f (t)dt. Il est clair que l’on peut additionner ou multiplier des réels, c’est
à dire lorsqu’elles existent, les valeurs des intégrales généralisées, mais pas des symboles ! On note ici une
différence par rapport aux notions sur les séries : le symbole est noté
an, et dans le cas où la série converge,
sa somme est notée
+∞
n=0
an.
• Certains auteurs parlent d’intégrales généralisées au lieu d’intégrales impropres, la nature de l’intégrale est son
caractère convergent ou divergent.
• L’intégrale est divergente si F admet une limite infinie (voir ci dessous l’exemple 4), ou si F n’admet de limite ni
finie ni infinie (voir ci dessous l’exemple 2), lorsque x tend vers plus l’infini .
Exemples
1.
+∞
0
1
1 + t 2 dt.
Pour tout x ∈ [0, +∞[,
x
0
1
1 + t 2 dt = Arctan x on a lim
x→+∞
Arctan x = p/2, l’intégrale
+∞
0
1
1 + t 2 dt est donc convergente et de plus
+∞
0
1
1 + t 2 dt = p/2.
2.
+∞
0
sin tdt.
Pour tout x ∈ [0, +∞[,
x
0
sin tdt = 1 − cos x, et la fonction x → 1 − cos x n’a pas de
limite lorsque x tend vers l’infini, l’intégrale impropre étudiée n’est donc pas convergente.
3.
+∞
0
e
−lt dt.
Si l = 0, pour tout x ∈ [0, +∞[,
x
0
e
−lt dt =
1
l
(1 − e
−lx ).
• Si l > 0, lim
x→+∞
(1 − e
−lx ) = 1, l’intégrale
+∞
0
e
−lt dt est convergente et
+∞
0
e
−lt dt =
1
l
·
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