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Extensions
de la notion d’intégrale
Dans tout ce qui précède, la notion d’intégrale est définie pour des fonctions réelles
d’une variable réelle, définies et continues sur un intervalle fermé borné de R, ou des
réunions de tels intervalles. Dans ce cas particulièrement simple, la notion d’intégrale
n’apporte rien de vraiment nouveau par rapport à la notion de primitive.
Il existe beaucoup d’extensions de la notion d’intégrale. Dans le présent chapitre on
étudie l’extension de la notion à des fonctions définies sur un intervalle semi-ouvert,
ou ouvert de R, puis à des fonctions réelles de deux variables réelles.
1. L’intégrale impropre
+∞
a
f(t)dt
1.1 Définitions
Soient a ∈ R et f une fonction continue de [a, +∞[ dans R. On sait que l’application
F : x ∈ [a, +∞[ →
x
a
f (t)dt est la primitive de f sur [a, +∞[ qui s’annule au point a.
Cette primitive peut ou non admettre une limite lorsque x tend vers plus l’infini. On
donne alors les définitions suivantes
Définition 1
Soient a ∈ R et f une application continue de [a, +∞[ dans R.
• On dit que l’intégrale impropre
+∞
a
f (t)dt converge si l’application
F : x ∈ [a, +∞[ →
x
a
f (t)dt, admet une limite finie l lorsque x tend vers
plus l’infini, on note alors :
+∞
a
f (t)dt = l.
On dit aussi que l’intégrale existe, ou encore, qu’elle a un sens.