Chapitre 5 – Fonctions réelles de plusieurs variables
On se donne n points M 1 , . . . , M n dont les abscisses ne sont pas toutes égales, avec n 2. On
note M i (x i , y i ), pour tout i ∈ Úi, nÛ et on pose pour tout (a, b) ∈ R
2
f (a, b) =
n
i=1
(y i − ax i − b)
2 .
Montrer que f (a, b) = s
2
Y − aX
+
b + am(X) − m(Y )
2 .
Montrer que f admet un unique minimum global, à déterminer.
Écrire une fonction Scilab donnant le couple (a, b).
La droite D d’équation Y = a 0 X + b 0 dans la base canonique, où (a 0 , b 0 ) est le minimum de f ,
est la droite de régression de y en x.
10.
Cas particulier du théorème de Poincaré
Soit v = P dx + Q dy une forme différentielle, fermée et continue sur R
2 .
1. Vérifier que pour tout (x, y) ∈ R
2
x
0
y
0
∂P
∂y
(u, v) dv
du =
x
0
P(u, y) − P(u, 0)
du =
y
0
Q(x, v) − Q(0, v)
dv
2. Montrer que l’application F définie sur R
2 par
F(x, y) =
y
0
Q(x, v) dv +
x
0
P(u, 0) du
vérifie dF = v.
150
On se donne n points M 1 , . . . , M n dont les abscisses ne sont pas toutes égales, avec n 2. On
note M i (x i , y i ), pour tout i ∈ Úi, nÛ et on pose pour tout (a, b) ∈ R
2
f (a, b) =
n
i=1
(y i − ax i − b)
2 .
Montrer que f (a, b) = s
2
Y − aX
+
b + am(X) − m(Y )
2 .
Montrer que f admet un unique minimum global, à déterminer.
Écrire une fonction Scilab donnant le couple (a, b).
La droite D d’équation Y = a 0 X + b 0 dans la base canonique, où (a 0 , b 0 ) est le minimum de f ,
est la droite de régression de y en x.
10.
Cas particulier du théorème de Poincaré
Soit v = P dx + Q dy une forme différentielle, fermée et continue sur R
2 .
1. Vérifier que pour tout (x, y) ∈ R
2
x
0
y
0
∂P
∂y
(u, v) dv
du =
x
0
P(u, y) − P(u, 0)
du =
y
0
Q(x, v) − Q(0, v)
dv
2. Montrer que l’application F définie sur R
2 par
F(x, y) =
y
0
Q(x, v) dv +
x
0
P(u, 0) du
vérifie dF = v.
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