EXERCICES
2. f : (x, y) → w(x) + c(y), où w : R → R et c : R → R sont des fonctions de classe C
2 .
On suppose que w
ne s’annule qu’en a et que w
(a) = 0 ; on suppose de même que c
ne
s’annule qu’en b et que c
(b) = 0.
3. f (x, y) = x
2 + 2axy + y
2 + 2bx + 2gy, où (a, b, g) ∈ R
3 .
6.
Le plan P est muni d’un repère R(O, ı, j).
1. Pour tout u ∈ [0, 2p], on pose A(u) le point de coordonnées
cos u, sin u
. Pour tout u et
u
vérifiant 0 u u
2p, calculer f
u, u
le périmètre du triangle A(0)A(u)A(u
).
2. Déterminer les triangle inscrit dans un cercle de périmètre maximal. On admettra qu’il
existe au moins un tel triangle.
7.
Un exemple dû à F. Riesz
Soit f la fonction définie sur R
2 par
f (x, y) =
⎧
⎨
⎩
xy
x
2
− y
2
x 2 + y 2 , si (x, y) = (0, 0) ;
0,
sinon.
1. Montrer que f est de classe C
1 .
2. Calculer
∂
2 f
∂x∂y
(0, 0) et
∂
2 f
∂y∂x
(0, 0).
3. Conclusion ?
8.
Soit V = R
∗
+ × R.
Déterminer les fonctions réelles f de classe C
2 définies sur V vérifiant
x
2 ∂
2 f
∂x 2 + 2xy
∂
2 f
∂x∂y
+ y
2 ∂
2 f
∂y 2 = 0.
On posera x = u et y = uv.
9.
Régression linéaire
Pour tout entier naturel non nul n et pour tout (X, Y ) ∈ (R n )
2 , on pose par analogie avec les
probabilités les notations
m(X) =
1
n
n
k=1
x k ; s
2 (X) =
1
n
n
k=1
x k − m(X)
2 =
1
n
n
k=1
x
2
k
− m(X)
2
g(X, Y ) =
1
n
n
k=1
x k − m(X)
y k − m(Y )
=
1
n
n
k=1
x k y k
− m(X)m(Y ),
où X = (x 1 , . . . , x n ) et Y = (y 1 , . . . , y n ). On pose enfin X =
x 1 − m(X), . . . , x n − m(X)
.
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