1.
Déterminer si la fonction f définie sur R
2
{(0, 0)} admet un prolongement par
continuité en (0, 0) et si oui, le prolongement est-il de classe C
1 ?
a) f (x, y) =
x
2 y
2
x 2 + xy + y 2
b) f (x, y) =
x
3
− y
3
x 2 + y 2
c) f (x, y) =
x
2 y
2
x 4 + y 4
2.
Soit f une fonction réelle de classe C
2 définie sur R. On pose
g(x, y) =
⎧
⎨
⎩
f (x) − f (y)
x − y
, si x = y ;
f
(x),
sinon.
1. Montrer que g est de classe C
1 sur R
2
D, où D = {(x, x) |x ∈ R }.
2. Montrer que g est de classe C
1 sur R
2 . On utilisera la formule de Taylor-Lagrange.
3.
Équation d’Euler
On dit que f : R
n
→ R, est homogène de degré a, où a est un réel, lorsque, pour tout
x ∈ R
n et t ∈ R
∗
+ , f (tx) = t
a f (x).
Montrer qu’une fonction de classe C
1 définie sur R
n est homogène de degré a si et seulement
si pour tout x ∈ R
n
n
k=1
x k
∂f
∂x k
(x) = af (x).
4.
Laplacien
Soit V un ouvert non vide R
n . On définit, lorsque f : V → R est une fonction de classe C
2 ,
Df (x) =
n
k=1
∂
2 f
∂x 2
k
(x).
1. Calculer Df , lorsque w : R
∗
+ → R est une fonction de classe C
2 et f : x → w
||x||
.
2. On suppose n = 3 et soit l ∈ R. Déterminer les fonctions f de la forme f : x → w
||x||
vérifiant Df = lf . On montrera que t → tw(t) est une solution d’une équation différentielle
simple.
5.
Déterminer les extrema locaux et globaux sur R
2 de
1. f : (x, y) → x
3 + xy + y
3
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