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Notation différentielle, formes différentielles
On le sait, calculer une primitive — c’est-à-dire déterminer si une forme est exacte
— est une chose difficile.
Une condition nécessaire pour qu’une forme différentielle soit exacte est qu’elle soit
fermée, ce qui correspond à une condition facile à vérifier. Une réciproque serait
intéressante. On sait malheureusement que la réciproque est fausse. Cependant, il
existe une réciproque partielle, que nous admettons sans démonstration.
Théorème 8 (Théorème de Poincaré)
Soit v une forme différentielle de classe C
1 , fermée sur V = I 1 × · · · × I n , où les I k sont
des intervalles ouverts non vides. Alors v est exacte.
➤ Remarques
• Le « forme géométrique » du domaine de v (à savoir un produit d’intervalles) est une hypothèse importante.
• On trouvera, en exercice, une démonstration dans le cas n = 2, utilisant le théorème de Fubini.
• Le théorème de Poincaré assure que toute forme différentielle fermée est localement exacte. Par exemple, on
sait que la forme v(x, y) =
x dy − y dx
x 2 + y 2 n’est pas exacte sur V = R
2 {(0, 0)} ; elle est en revanche exacte
sur V = R ∗
+ × R. Le lecteur vérifiera que f : (x, y) → Arctan
y
x
en est une primitive.
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