Chapitre 5 – Fonctions réelles de plusieurs variables
D’après la proposition 5, on a donc
W =
b
a
n
k=1
∂f
∂x k
g(t)
g
k (t) dt =
b
a
f ◦ g
(t) dt = f
g(b)
− f
g(a)
.
Cela est la justification du principe utilisé en physique du fait que si un champ dérive
d’un potentiel (i.e. il existe f tel que X = ∇f ), le travail le long d’un chemin ne
dépend que des extrémités du chemin (et du potentiel f ).
En particulier, le travail le long d’un chemin fermé g (i.e. g(a) = g(b)) est nul.
L’exercice suivant montre que la réciproque de la proposition 4 est fausse.
Exercice 9.
Soit V = R
2
{(0, 0)} et v la forme définie sur V par
v(x, y) =
x dy − y dx
x 2 + y 2 ·
1. La forme différentielle v est-elle fermée ?
2. Calculer I =
2p
0
v
g (u)
.g
(u) du, où g : u → (cos u, sin u).
3. Conclure.
Solution.
1. On vérifie que V est un ouvert. Ici, v = P dx + Q dy avec P : (x, y) → −
y
x 2 + y 2 et
Q : (x, y) →
x
x 2 + y 2 · La forme v est de classe C
1 et pour tout (x, y) ∈ V
∂P
∂y
(x, y) =
y
2
− x
2
x 2 + y 2
2 ;
∂Q
∂x
(x, y) =
y
2
− x
2
x 2 + y 2
2 ·
La forme v est donc fermée.
2. On a facilement
I =
2p
0
v
g (u)
.g
(u) du =
2p
0
(− sin u)(− sin u) + (cos u)(cos u)
cos 2 u + sin
2 u
du = 2p.
3. La courbe g étant fermée et puisque I = 0, la forme différentielle v ne peut pas être
exacte.
5.4 Théorème de Poincaré
On vient de le voir, une propriété intéressante pour un champ de vecteurs est de
dériver d’un potentiel, ou, en terme de formes différentielles, d’être exacte.
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