© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Notation différentielle, formes différentielles
5.3 Pourquoi s’intéresser aux formes exactes ?
Soit V un ouvert non vide de R
n .
Définition 11
Un champ de vecteurs de classe C
p , avec p ∈ {0, 1, 2} est une application X de V dans
R
n telle que les applications composantes X i sont toutes de classe C
p .
−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
Figure 5.6 Le champ X : (x, y) → (−y, −x) visualisé à l’aide de Scilab
Il est clair que X →
n
k=0
X k dx k définit une bijection de l’ensemble des champs de
vecteurs de classe C
p sur V sur l’ensemble des formes différentielles de classe C
p
définies sur V.
En physique, on définit le travail dans le champ X le long d’un chemin (continu, de
classe C
1 par morceaux) g : [a, b] → V par
W =
b
a
X
g(t)
, g
(t)
dt =
b
a
n
k=1
X k
g(t)
g
k (t) dt.
S’il existe une fonction f telle que ∇f = X, ou, ce qui revient au même — après avoir
identifié le champ X avec une forme différentielle v —, lorsque la forme différentielle
associée est exacte, on a
W =
b
a
n
k=1
∂f
∂x k
g(t)
g
k (t) dt.
145