Chapitre 5 – Fonctions réelles de plusieurs variables
Exemple
Si f est une fonction réelle de classe C
1 définie sur V, alors v = df est une forme différentielle
continue.
➤ Remarques
• Avec les notations de la définition, pour tout a ∈ V et k ∈ Ú1, nÛ, on a v(a)(e k ) = P k (a), ce qui démontre
l’unicité des applications P i . Les P i sont les composantes de la forme.
• On notera encore v(a).h pour — la peu sémillante notation —
v(a)
(h).
Définition 10
Soit v =
n
k=1
P k dx k une forme différentielle définie sur V.
1. On dit v est exacte lorsqu’il existe une fonction réelle f de classe C
1 définie sur V
telle que
v = df .
On dit alors que f est une primitive de v.
2. Lorsque v est de classe C
1 , on dit qu’elle est fermée lorsque pour tout (i, j) ∈ Ú1, nÛ
∂P i
∂x j
=
∂P j
∂x i
·
Exemples
1. Lorsque n = 2, la forme différentielle v = P dx + Q dy de classe C
1 définie sur V est
fermée si et seulement si
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
·
2. Lorsque n = 3, la forme différentielle v = P dx + Q dy + R dz de classe C
1 définie sur V
est fermée si et seulement si
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
;
∂Q
∂z
=
∂R
∂y
;
∂R
∂x
=
∂P
∂z
·
Proposition 4
Soit v une forme différentielle définie sur V de classe C
1 .
Si v est exacte, alors v est fermée.
La réciproque est fausse.
Preuve
Notons P =
n
k=1
P k dx k . Si v est exacte, il existe une fonction réelle f au moins de classe C
1 telle que v = df .
Par unicité des composantes d’une forme, on a, pour tout k ∈ Ú1, nÛ, P k =
∂f
∂k
. Puisque v est de classe C
1 , f
est de classe C
2 . Ainsi, d’après le théorème de Schwarz (7), pour tout (i, j) ∈ Ú1, nÛ
2
∂P i
∂x j
=
∂
2 f
∂x j ∂x i
=
∂
2 f
∂x i ∂x j
=
∂P j
∂x i
·
❑
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