© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Notation différentielle, formes différentielles
point a. On la note df (a), ou Df (a) ; de même que pour les dérivées partielles, il
existe encore d’autres notations. L’application df , qui est la différentielle de f , est
l’application a → df (a) ; c’est donc une application de V dans L (R n , R).
Par soucis de simplicité d’écriture, la valeur de df (a) en h ∈ R
n est notée df (a).h au
lieu de df (a)(h) ou pire — bien que ceci soit correct —
df (a)
(h).
Un cas particulier concerne les applications projection p i . Dans ce cas, pour tout
a ∈ R
n ,
∇p i (a) = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)
↑
i-ème
,
et donc dp i (a) est l’application p i , c’est-à-dire l’application x → x i . Pour cela, on note,
pour tout i ∈ Ú1, nÛ, dx i l’application linéaire définie sur R
n
dx i : (h 1 , . . . , h n ) → h i
En résumé :
• la différentielle en a d’une fonction f de classe C
1 , est
df (a) : h →
n
k=1
∂f
∂x k
(a)h k
• le théorème d’approximation s’écrit
f (a + h) = f (a) + df (a).h + o
||h||
• la différentielle de f est donnée par
df =
n
k=1
∂f
∂x k
× dx k
5.2 Formes différentielles
Dans ce paragraphe, V est un ouvert non vide de R
n . On notera de plus
B : (e 1 , . . . , e n ) la base canonique de R
n .
Définition 9
Une forme différentielle (d’ordre un) sur V est une application v à valeurs dans
L (R n , R) définie sur V par
v(x) =
n
k=1
P k (x) dx k ,
où P 1 , . . . , P n sont des fonctions réelles définies sur V.
Lorsque P 1 , . . . , P n sont des fonctions de classe C
p , avec p ∈ {0, 1, 2}, on dit que v est
une forme différentielle de classe C
p .
143