Chapitre 5 – Fonctions réelles de plusieurs variables
chaînes, on a sur R
2 , avec les abus usuels de notations,
∂g
∂u
=
1
2
∂f
∂x
+
1
c
∂f
∂t
∂g
∂v
=
1
2
∂f
∂x
−
1
c
∂f
∂t
et donc
4
∂
2 g
∂u∂v
=
∂
∂x
∂f
∂x
−
1
c
∂f
∂t
+
1
c
∂
∂t
∂f
∂x
−
1
c
∂f
∂t
=
∂
2 f
∂x 2 +
1
c
∂
2 f
∂t∂x
−
∂
2 f
∂x∂t
−
1
c 2
∂
2 f
∂t 2
=
∂
2 f
∂x 2 −
1
c 2
∂
2 f
∂t 2 ·
En d’autres termes, si f est une solution du problème, alors
∂
2 g
∂u∂v
= 0. Il s’ensuit qu’il existe
une fonction c définie sur R, nécessairement de classe C
1 telle que, pour tout (u, v) ∈ R
2 ,
∂g
∂v
= c(v) et donc il existe deux fonctions définies sur R, nécessairement de classe C
2 , telles
que pour tout (u, v) ∈ R
2
g(u, v) = F(u) + C(v).
Ainsi, puisque g (u, v) = f
u + v
2
,
u − v
2c
, i.e. f (x, t) = g (x + ct, x − ct), pour tout (x, y) ∈ R
2
f (x, t) = F (x + ct) + C (x − ct) .
Réciproquement, il est facile de vérifier que toute fonction (x, y) → F (x + ct) + C (x − ct),
où F et C sont des fonctions réelles de classe C
2 définies sur R, est une solution du problème.
5. Notation différentielle, formes différentielles
5.1 Notations
Soit V un ouvert non vide de R
n , a un élément de V et f une application réelle de
classe C
1 définie sur V.
Rappelons que le théorème 5 d’approximation affirme qu’il existe une application
´ : R
n
→ R telle que lim
h→0
´ (h) = 0 et telle pour h « assez petit »
f (a + h) = f (a) + ∇f (a), h + ||h|| ´ (h) ,
ce que l’on note
f (a + h) = f (a) + ∇f (a), h + o
||h||
.
L’application définie sur R
n par h → →∇f (a), h est, de part la bilinéarité du produit
scalaire, une application linéaire. Cette application est appelée différentielle de f au
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