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Fonctions de classe C
2
Soit maintenant ´ un réel strictement positif. Par continuité, il existe un réel h strictement positif tel que
BF (a, h) ⊂ V et tel que pour tout h ∈ R
2 vérifiant ||h|| h
∂
2 f
∂x1∂x2
(a + h) −
∂
2 f
∂x1∂x2
(a)
´
2
;
(1)
∂
2 f
∂x2∂x1
(a + h) −
∂
2 f
∂x2∂x1
(a)
´
2
·
(2)
Ainsi, pour tout r ∈
0,
h
√
2
, on déduit de (1) que
a2+r
a2
a1+r
a1
∂
2 f
∂x1∂x2
(u, v) −
∂
2 f
∂x1∂x2
(a)du
dv
a2+r
a2
a1+r
a1
∂
2 f
∂x1∂x2
(u, v) −
∂
2 f
∂x1∂x2
(a)
du
dv
a2+r
a2
a1+r
a1
´
2
du
dv =
´
2
r
2 ,
soit
Ir −
∂
2 f
∂x1∂x2
(a)r
2
´
2
r
2 . De (2) on obtient que
Ir −
∂
2 f
∂x2∂x1
(a)r
2
=
a1+r
a1
a2+r
a2
∂
2 f
∂x2∂x1
(u, v) −
∂
2 f
∂x2∂x1
(a)dv
du
´
2
r
2 .
Puisque r est strictement positif, il s’ensuit que
∂
2 f
∂x1∂x2
(a) −
∂
2 f
∂x2∂x1
(a)
=
1
r 2
∂
2 f
∂x1∂x2
(a)r
2 − Ir + Ir −
∂
2 f
∂x2∂x1
(a)r
2
1
r 2
∂
2 f
∂x1∂x2
(a)r
2 − Ir
+
1
r 2
Ir −
∂
2 f
∂x2∂x1
(a)r
2
´.
Ainsi,
∂
2 f
∂x1∂x2
(a) −
∂
2 f
∂x2∂x1
(a)
´, et cela pour tout réel ´ strictement positif. La conclusion en découle. ❑
Exercice 8. Équation d’onde
Soit c un réel non nul. Déterminer les fonctions f de classe C
2 définies sur R
2 vérifiant
∂
2 f
∂x 2 =
1
c 2
∂
2 f
∂t 2 ·
On posera x =
u + v
2
et t =
u − v
2c
·
Solution. Soit f une fonction de classe C
2 quelconque définie sur R
2 et posons, pour tout
(u, v) ∈ R
2 , g(u, v) = f
u + v
2
,
u − v
2c
. Il est clair que g est de classe C
2 . D’après la règle des
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