Chapitre 5 – Fonctions réelles de plusieurs variables
m a : x → x
a1
1 · · · x
an
n , où a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ N
n . Or, pour tout x ∈ R
n
∂
2 m a
∂x i ∂x j
(x) =
a i a j x
a1
1 · · · x
ai−1
i
· · · x
aj−1
j
· · · x
an
n , si a i = 0 et a j = 0 ;
0,
sinon.
On obtient la même expression pour
∂
2 m a
∂x j ∂x i
(x), ce qui assure le résultat.
2. Pour tout (i, j) élément de Ú1, nÛ
2 , on vérifie facilement que
∂
2 f
∂x i ∂x j
=
∂P
∂x i
×
∂P
∂x j
× g
◦ P +
∂
2 P
∂x i ∂x j
× g
◦ P.
On conclut immédiatement.
L’exercice précédent montre que les « dérivées partielles croisées »
∂
2 f
∂x i ∂x j
et
∂
2 f
∂x j ∂x i
coïncident dans un certain nombre de cas. Il s’agit en fait d’un résultat général, qui est
l’objet du théorème ci-dessous, dont la démonstration peut être admise.
Théorème 7 (Théorème de Schwarz)
Soit V un ouvert non vide de R
n et f une fonction réelle de classe C
2 définie sur V. Alors
pour tout (i, j) élément de Ú1, nÛ
∂
2 f
∂x i ∂x j
=
∂
2 f
∂x j ∂x i
·
Preuve
Pour alléger les notations, nous supposerons que n = 2.
Soit a ∈ V. Puisque V est ouvert, il existe un réel strictement positif r tel que pour tout h ∈ R
2 tel que ||h|| r
on ait a + h ∈ V. Ainsi, pour tout r ∈
0,
r
√
2
, en notant
Ir = f (a1 + r, a2 + r) − f (a1 + r, a2) − f(a1, a2 + r) + f(a1, a2),
on a
Ir =
f (a1 + r, a2 + r) − f (a1 + r, a2)
−
f(a1, a2 + r) − f(a1, a2)
=
a2+r
a2
∂f
∂x2
(a1 + r, v) dv −
a2+r
a2
∂f
∂x2
(a1, v) dv
=
a2+r
a2
∂f
∂x2
(a1 + r, v) −
∂f
∂x2
(a1, v)
dv
=
a2+r
a2
a1+r
a1
∂
2 f
∂x1∂x2
(u, v) du
dv.
En remarquant que Ir =
f (a1 + r, a2 + r) − f (a1, a2 + r)
−
f(a1 + r, a2) − f(a1, a2)
, on obtient
Ir =
a1+r
a1
a2+r
a2
∂
2 f
∂x2∂x1
(u, v) dv
du =
a2+r
a2
a1+r
a1
∂
2 f
∂x1∂x2
(u, v) du
dv.
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