© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Fonctions de classe C
2
On note, pour tout (i, j) élément de Ú1, nÛ
2 ,
∂
2 f
∂x i ∂x j
=
∂
∂x i
∂f
∂x j
les dérivées partielles secondes de f . On trouve également les notation ∂
2
ij f ou encore
f
xi,xj . Là encore le lecteur est susceptible de rencontrer d’autres notations. On note
plus simplement, pour tout i ∈ Ú1, nÛ
∂
2 f
∂x 2
i
=
∂
2 f
∂x i ∂x i
·
➤ Remarque
D’après le corollaire 3 du théorème d’approximation, toute fonction de classe C
2 est de classe C
1 .
Proposition 3
• Soit f et g deux fonctions réelles de classe C
2 définies sur V et l un réel.
Alors f + g, lf , f · g et
1
f
(lorsque celle-ci est définie) sont des fonctions de classe C
2 .
• L’ensemble C
2 (V, R) est un R-espace vectoriel pour les lois usuelles.
• Soit f une fonction réelle de classe C
2 définie sur V et g : V
→ V une fonction, où
V
est un ouvert non vide de R
p . On suppose de plus que les applications composantes
de g sont toutes de classe C
2 . Alors la fonction f ◦ g est de classe C
2 .
Preuve
Immédiate d’après les propriétés des fonctions de classe C
1 .
❑
4.2 Théorème de Schwarz
Commençons par un exercice.
Exercice 7.
Soit P une fonction polynôme de n variables (définie sur R
n ).
1. Montrer que pour tout couple (i, j) à valeurs dans Ú1, nÛ
2 ,
∂
2 P
∂x i ∂x j
=
∂
2 P
∂x j ∂x i
·
2. Soit g une fonction réelle définie sur R, de classe C
2 et f = g ◦ P. Comparer
∂
2 f
∂x i ∂x j
et
∂
2 f
∂x j ∂x i
·
Solution.
1. La formule est immédiate lorsque i = j. Soit donc i et j deux éléments distincts de Ú1, nÛ.
On peut supposer i < j. Par linéarité, il suffit de vérifier la formule sur les monômes
139