Chapitre 5 – Fonctions réelles de plusieurs variables
En soustrayant ces deux équations, on obtient (x − y)(x + y − 1) = 0. Si x + y − 1 = 0, la
première (et la seconde) équation donne (x − 1)(y − 1) = 0, et donc x = 1 ou y = 1, ce
qui est impossible. On obtient nécessairement x = y, puis que
2
3
,
2
3
est l’unique point
critique de P.
Pour tout x ∈ ]0, 1[, l’application y → P(x, y) est une fonction polynôme du second degré
dont les racines sont 1 et 1 − x ; le maximum de celle-ci est atteint en
2 − x
2
et vaut
x
2
4
(1 − x). Une brève étude de la fonction g : x →
x
2
4
(1 − x) montre que le maximum
de celle-ci sur [0, 1] est atteint en
2
3
· Ainsi, pour tout (x, y) ∈ V
P(x, y) g(x)
1
27
= P
2
3
,
2
3
,
et donc le point critique
2
3
,
2
3
est le maximum (global strict) de P. On en déduit que
les triangles d’aire maximale de périmètre 1 sont les triangles équilatéraux.
3. On déduit de la question précédente que parmi tous les triangles de périmètre , les triangles équilatéraux de côté
3
sont ceux qui ont l’aire maximale. On obtient alors l’inégalité
annoncée en utilisant le fait que l’aire d’un triangle équilatéral de côté
3
est
√
3
36
2 .
➤ Remarques
• On peut reformuler le résultat en disant que parmi tous les triangles d’aire donnée, les triangles équilatéraux
sont ceux qui minimisent le périmètre.
• On appelle inégalité isopérimétrique (dans le plan) toute inégalité A C
2 , où A et respectivement désignent l’aire et le périmètre d’un domaine borné D. Elles sont établies pour des ensembles de domaines. Dans
notre cas particulier l’ensemble des domaines est celui des triangles et la constante est
√
3
36
. Pour des ensembles
plus généraux de domaines, on peut démontrer que A 4p
2 , le cas d’égalité correspondant au disque. Il
existe des inégalités analogues liant la surface et le volume d’un domaine borné de l’espace.
4. Fonctions de classe C
2
Dans cette partie V est un ouvert non vide de R
n .
4.1 Généralités
Définition 8
Une fonction réelle f définie sur V est de classe C
2 si et seulement si toutes les dérivées
partielles sont définies sur V et qu’elles sont toutes de classe C
1 .
On note C
2 (V, R) l’ensemble des fonctions réelles de classe C
2 définies sur V.
Les dérivées partielles des dérivées partielles sont les dérivées partielles secondes.
138
En soustrayant ces deux équations, on obtient (x − y)(x + y − 1) = 0. Si x + y − 1 = 0, la
première (et la seconde) équation donne (x − 1)(y − 1) = 0, et donc x = 1 ou y = 1, ce
qui est impossible. On obtient nécessairement x = y, puis que
2
3
,
2
3
est l’unique point
critique de P.
Pour tout x ∈ ]0, 1[, l’application y → P(x, y) est une fonction polynôme du second degré
dont les racines sont 1 et 1 − x ; le maximum de celle-ci est atteint en
2 − x
2
et vaut
x
2
4
(1 − x). Une brève étude de la fonction g : x →
x
2
4
(1 − x) montre que le maximum
de celle-ci sur [0, 1] est atteint en
2
3
· Ainsi, pour tout (x, y) ∈ V
P(x, y) g(x)
1
27
= P
2
3
,
2
3
,
et donc le point critique
2
3
,
2
3
est le maximum (global strict) de P. On en déduit que
les triangles d’aire maximale de périmètre 1 sont les triangles équilatéraux.
3. On déduit de la question précédente que parmi tous les triangles de périmètre , les triangles équilatéraux de côté
3
sont ceux qui ont l’aire maximale. On obtient alors l’inégalité
annoncée en utilisant le fait que l’aire d’un triangle équilatéral de côté
3
est
√
3
36
2 .
➤ Remarques
• On peut reformuler le résultat en disant que parmi tous les triangles d’aire donnée, les triangles équilatéraux
sont ceux qui minimisent le périmètre.
• On appelle inégalité isopérimétrique (dans le plan) toute inégalité A C
2 , où A et respectivement désignent l’aire et le périmètre d’un domaine borné D. Elles sont établies pour des ensembles de domaines. Dans
notre cas particulier l’ensemble des domaines est celui des triangles et la constante est
√
3
36
. Pour des ensembles
plus généraux de domaines, on peut démontrer que A 4p
2 , le cas d’égalité correspondant au disque. Il
existe des inégalités analogues liant la surface et le volume d’un domaine borné de l’espace.
4. Fonctions de classe C
2
Dans cette partie V est un ouvert non vide de R
n .
4.1 Généralités
Définition 8
Une fonction réelle f définie sur V est de classe C
2 si et seulement si toutes les dérivées
partielles sont définies sur V et qu’elles sont toutes de classe C
1 .
On note C
2 (V, R) l’ensemble des fonctions réelles de classe C
2 définies sur V.
Les dérivées partielles des dérivées partielles sont les dérivées partielles secondes.
138