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Dérivées partielles, fonctions de classe C
1
On obtient alors immédiatement la formule annoncée.
A
B
C
c
b
a
A
+
+
x
y
V
1
1
O
Figure 5.5 Inégalité isopérimétrique
2. On sait que trois réels positifs a, b et c sont les côtés d’un triangle si et seulement si
|a − b| c a + b (cf. exercice 8.3 du paragraphe 2 du chapitre 8 du cours de première année). Le triangle sera « vrai » si et seulement si les inégalités sont strictes (penser
aux cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire). Ainsi, deux réels a et b sont les côtés d’un
« vrai » triangle de périmètre 1 si et seulement si |a − b| < 1 − a − b < a + b, i.e.
⎧
⎨
⎩
1
2 < a + b
et
2 max{a, b} = |a − b| + (a + b) < 1,
soit encore (a, b) ∈
0,
1
2
2
et
1
2
< a + b. Notons donc
V =
(a, b) ∈
0,
1
2
2
1
2
< a + b
.
On vérifie facilement que V est un ouvert. Il s’agit de trouver, s’il existe, le maximum de
la fonction f définie sur V par
f (a, b) =
1 − 2a
1 − 2b
2(a + b) − 1
4
=
√
P(2a, 2b)
4
,
où P(x, y) = (1 − x)(1 − y)(x + y − 1) est définie sur V
=
(x, y) ∈ ]0, 1[
2
|1 < x + y
.
Par stricte croissance de la fonction
√
, il s’agit de trouver le maximum de P. La fonction
P est polynomiale, donc de classe C
1 . Les points critiques sont caractérisés par
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂P
∂x
(x, y) = −(1 − y)(x + y − 1) + (1 − x)(1 − y) = 0
∂P
∂y
(x, y) = −(1 − x)(x + y − 1) + (1 − x)(1 − y) = 0.
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