Chapitre 5 – Fonctions réelles de plusieurs variables
• Le point A est un minimum local strict. Posons x =
1
√
2
+ h et y = k. Alors, en notant
g(h, k) = f (x, y), on obtient
g(h, k) =
1
√
2
+ h
4
+ k
4
−
1
√
2
+ h
2
+ k
4 + k
2 + g(0, 0)
= h
2
h
2 + 2
3/2 h + 2
+ k
2
k
2 + 1
+ g(0, 0).
Or, lorsque |h| 2
−3/2 ,
h
2 + 2
3/2 h + 2 2 − 2
3/2
|h| 1,
et donc pour tout (h, k) ∈ B F
O, 2
−3/2
, non nul,
g(h, k) − g(0, 0) h
2 + k
4 + k
2 > 0.
On en déduit le résultat annoncé.
• Puisque f est paire en x, on en déduit que B est également un minimum local strict.
Exercice 6.
Dans cette exercice, P est le plan muni d’un repère orthonormé direct (O, ı, j).
1. Soit ABC un « vrai » triangle du plan P. On note a, b, c respectivement les côtés BC, CA,
AB et p =
a + b + c
2
le demi-périmètre. Montrer que l’aire du triangle est
aire(ABC) =
p (p − a) (p − b) (p − c).
(formule de Héron)
2. Déterminer, parmi les triangles de périmètre 1, ceux dont l’aire est maximale.
3. Montrer que pour tout triangle d’aire A et de périmètre , on a
A
√
3
36
2 .
Solution.
1. On sait que
aire(ABC) =
1
2
AB × AC × sin
A =
bc
2
sin
A,
où
A ∈ [0, p] est déterminé par son cosinus, à savoir
BC
2 = AB
2 + AC
2
− 2AB × AC × cos
A.
(Voir par exemple le chapitre 8, paragraphe 7 du cours de première année.) Il s’ensuit que
cos
A =
b
2 + c
2
− a
2
2bc
et donc
aire(ABC)
2 =
b
2 c
2
4
1 − cos
2
A
=
1
16
4b
2 c
2
−
b
2 + c
2
− a
2
2
=
2bc − b
2
− c
2 + a
2
2bc + b
2 + c
2
− a
2
16
=
a
2
− (b − c)
2
(b + c)
2
− a
2
16
=
(a + b − c)(a + c − b)(b + c − a)(a + b + c)
16
·
136