© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Dérivées partielles, fonctions de classe C
1
−1.0
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Z
−1.0
−0.6
−0.2
0.2
0.6
1.0
X
−1.0
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Y
Figure 5.4 Un col ou point selle représenté à l’aide de Scilab
La méthode la plus courante pour étudier les extrema d’une fonction réelle de plusieurs variables définie sur un ouvert consiste à d’abord chercher les points critiques
puis, par des encadrements, déterminer la nature du point critique (maximum, minimum, col, autre).
Exercice 5.
Déterminer les extrema locaux sur R
2 de la fonction définie par f (x, y) = x
4 + y
4
− x
2 + y
2 .
Solution. L’ensemble R
2 est ouvert et f est une fonction polynôme, donc de classe C
1 .
Pour tout couple (x, y) de R
2 on a
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
∂f
∂x
(x, y) = 2x(2x
2
− 1)
∂f
∂x
(x, y) = 2y(2y
2 + 1)
Ainsi les point critiques sont ceux qui vérifient x(2x
2
− 1) = y(2y
2 + 1) = 0. On en déduit
que O(0, 0), A =
1
√
2
, 0
et B =
−
1
√
2
, 0
sont les trois seuls points critiques.
• Le point (0, 0) est un col. En effet, l’étude de l’application x → f (x, 0), montre que celle-ci
admet un maximum local strict en 0, alors que l’application y → f (0, y) admet un minimum
local strict.
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