Chapitre 5 – Fonctions réelles de plusieurs variables
3.6 Extrema
On définit pour les fonctions de plusieurs variables les notions d’extremum relatif
(strict ou pas) et d’extremum global (strict ou pas) de la même manière que pour les
fonctions d’une seule variable.
Définition 7
Soit A une partie non vide de R
n et f une fonction réelle définie sur A.
1. On dit que l’élément a de A est un maximum (global) (resp. maximum (global) strict)
de f si, et seulement si,
∀x ∈ A f(x) f (a)
(resp. ∀x ∈ A {a} f (x) < f (a) )
2. On dit que l’élément a de A est un maximum local (resp. maximum local strict) de f
si, et seulement si, il existe un réel strictement positif r tel que
∀x ∈ A ∩ B O (a, r) f (x) f (a)
(resp. ∀x ∈
A ∩ B O (a, r)
{a} f (x) < f (a) )
(B O (a, r) est la boule ouverte de centre a et de rayon r.)
On définit de même un minimum, un minimum strict, un minimum local, un minimum
local strict.
Théorème 6 (Condition nécessaire d’extremum)
Soit f une fonction réelle de classe C
1 , définie sur un ouvert non vide V de R
n . Si a est un
extremum de f , alors
∇f (a) = 0.
La réciproque est fausse.
Un élément a de V tel que ∇f (a) = 0 est appelé un point critique.
Preuve
Soit a un extremum de f . Puisque V est un ouvert, pour tout k ∈ Ú1, nÛ, l’application partielle
t → f (a1, . . . , a k−1 , t, a k+1 , . . . , an) est définie au moins sur un intervalle ouvert contenant a k . De plus a k doit
être un extremum de l’application partielle. Il s’ensuit que
∂f
∂x k
(a) = 0.
❑
➤ Remarques
• Dans l’énoncé précédent, le fait que le domaine de définition soit ouvert est capital. Considérons en effet
l’application f : [0, 1]
2 → R définie par f(x, y) = x + y. Il est clair que (0, 0) est un minimum et (1, 1) est un
maximum, alors que
∂f
∂x
=
∂f
∂y
= 1.
• En revanche, on peut simplement supposer l’existence de toutes les dérivées partielles sur V — sans supposer
leur continuité — pour obtenir la même conclusion.
• Il arrive parfois qu’en un point critique, toutes les applications partielles aient des extrema locaux stricts, mais
qu’ils ne soient pas tous de même nature, i.e. certains sont des maxima, d’autres des minima. On parle alors
de col ou de point selle. La figure suivante illustre le col en (0, 0) de f : (x, y) → y
2 − x
2 .
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3.6 Extrema
On définit pour les fonctions de plusieurs variables les notions d’extremum relatif
(strict ou pas) et d’extremum global (strict ou pas) de la même manière que pour les
fonctions d’une seule variable.
Définition 7
Soit A une partie non vide de R
n et f une fonction réelle définie sur A.
1. On dit que l’élément a de A est un maximum (global) (resp. maximum (global) strict)
de f si, et seulement si,
∀x ∈ A f(x) f (a)
(resp. ∀x ∈ A {a} f (x) < f (a) )
2. On dit que l’élément a de A est un maximum local (resp. maximum local strict) de f
si, et seulement si, il existe un réel strictement positif r tel que
∀x ∈ A ∩ B O (a, r) f (x) f (a)
(resp. ∀x ∈
A ∩ B O (a, r)
{a} f (x) < f (a) )
(B O (a, r) est la boule ouverte de centre a et de rayon r.)
On définit de même un minimum, un minimum strict, un minimum local, un minimum
local strict.
Théorème 6 (Condition nécessaire d’extremum)
Soit f une fonction réelle de classe C
1 , définie sur un ouvert non vide V de R
n . Si a est un
extremum de f , alors
∇f (a) = 0.
La réciproque est fausse.
Un élément a de V tel que ∇f (a) = 0 est appelé un point critique.
Preuve
Soit a un extremum de f . Puisque V est un ouvert, pour tout k ∈ Ú1, nÛ, l’application partielle
t → f (a1, . . . , a k−1 , t, a k+1 , . . . , an) est définie au moins sur un intervalle ouvert contenant a k . De plus a k doit
être un extremum de l’application partielle. Il s’ensuit que
∂f
∂x k
(a) = 0.
❑
➤ Remarques
• Dans l’énoncé précédent, le fait que le domaine de définition soit ouvert est capital. Considérons en effet
l’application f : [0, 1]
2 → R définie par f(x, y) = x + y. Il est clair que (0, 0) est un minimum et (1, 1) est un
maximum, alors que
∂f
∂x
=
∂f
∂y
= 1.
• En revanche, on peut simplement supposer l’existence de toutes les dérivées partielles sur V — sans supposer
leur continuité — pour obtenir la même conclusion.
• Il arrive parfois qu’en un point critique, toutes les applications partielles aient des extrema locaux stricts, mais
qu’ils ne soient pas tous de même nature, i.e. certains sont des maxima, d’autres des minima. On parle alors
de col ou de point selle. La figure suivante illustre le col en (0, 0) de f : (x, y) → y
2 − x
2 .
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