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Dérivées partielles, fonctions de classe C
1
En posant g : (r, u) → f (r cos u, r sin u), g est une fonction réelle de classe C
1 sur V
et la règle
des chaînes donne, pour tout (r, u) ∈ V
∂g
∂r
(r, u) =
∂f
∂x
(x, y) cos u +
∂f
∂y
(r, u) sin u =
1
r
x
∂f
∂x
(x, y) + y
∂f
∂y
(r, u)
= 0.
r
u
+
p
+
−p
C
D −
x
y
Figure 5.3 L’application C
Comme précédemment, on en conclut qu’il existe nécessairement une fonction réelle F 1 de
classe C
1 telle que pour tout (r, u) ∈ V
g(r, u) = F 1 (u).
Par ailleurs, pour tout (x, y) ∈ V, C
−1 (x, y) =
x 2 + y 2 , 2 Arctan
y
x +
x 2 + y 2
. En effet
soit (x, y) ∈ V et posons Z = x + iy = re
iu . Alors
Z + |Z| = 2 cos
u
2
e
i
u
2 =
x +
x 2 + y 2
+ iy = x
+ iy,
et puisque u ∈ ]−p, p[, 2 cos
u
2
est positif et donc
u
2
est un argument de Z + |Z|. La formule
annoncée en découle du fait que x
est positif et donc qu’une mesure de l’argument de x
+ iy
est donnée par Arctan
y
x · Ainsi, si f est une solution du problème, il existe une fonction F
(= F 1 ◦ 2 Arctan) définie sur R, de classe C
1 , vérifiant
f (x, y) = F
y
x +
x 2 + y 2
.
Réciproquement, on vérifie facilement que toute fonction réelle définie sur V par
f (x, y) = F
y
x +
x 2 + y 2
,
où F ∈ C
1 (R, R), est une solution du problème.
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