Chapitre 5 – Fonctions réelles de plusieurs variables
De plus, puisque g est de classe C
1 , il en est de même de F. Puisque l’application
(u, v) →
u +
v
2
, u −
v
2
est une bijection de R
2 sur R
2 , on en déduit que si f est une
solution du problème, il existe alors une fonction F de classe C
1 sur R telle que pour tout
(x, y) ∈ R
2
f (x, y) = g
x + y
2
, x − y
= F(x − y).
Réciproquement, si F est une fonction de classe C
1 définie sur R, il est facile de vérifier
que f : (x, y) → F (x − y) est une solution du problème.
Exercice 3.
On note V = R
∗
+ × R. Déterminer les fonctions réelles f de classe C
1 définies sur V vérifiant
x
∂f
∂x
= y
∂f
∂y
·
On posera x = u et y =
v
u
·
Solution. Soit f une solution du problème. On vérifie sans difficulté que V est un ouvert. Les
fonctions (u, v) → u et (u, v) →
v
u
, définies sur V sont de classe C
1 et c : (u, v) →
u,
v
u
est
une bijection sur V, d’application réciproque c
−1 : (x, y) → (x, xy).
En appliquant la règle des chaînes, g = f ◦ c est de classe C
1 et, pour tout (u, v) ∈ V
∂g
∂u
(u, v) =
∂f
∂x
(x, y) −
v
u 2
∂f
∂y
(x, y) =
∂f
∂x
(x, y) −
y
x
∂f
∂y
(x, y) = 0.
Ainsi, de la même manière que dans l’exercice précédent, il existe une fonction réelle F de
classe C
1 sur R telle que pour tout (u, v) ∈ V, g(u, v) = F(v) et donc telle que pour tout
(x, y) ∈ V
f (x, y) = F(xy).
Il est facile de vérifier que toute fonction définie sur V par (x, y) → F(xy), où F est une
fonction réelle de classe C
1 sur R, est une solution du problème.
Exercice 4.
On note D − l’ensemble
(x, 0) ∈ R
2
| x 0
et V = R
2
D − . Déterminer les fonctions
réelles f de classe C
1 définies sur V vérifiant
x
∂f
∂x
+ y
∂f
∂y
= 0.
On posera x = r cos u et y = r sin u.
Solution. Soit f une solution du problème. Notons V
= R
∗
+ × ]−p, p[. On vérifie sans
difficulté que V et V
sont ouverts. Les applications définies sur V
par (r, u) → r cos u et
(r, u) → r sin u sont clairement de classe C
1 . On vérifie aisément que l’application C : V
→ V
définie par C(r, u) = (r cos u, r sin u) est une bijection sur V.
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De plus, puisque g est de classe C
1 , il en est de même de F. Puisque l’application
(u, v) →
u +
v
2
, u −
v
2
est une bijection de R
2 sur R
2 , on en déduit que si f est une
solution du problème, il existe alors une fonction F de classe C
1 sur R telle que pour tout
(x, y) ∈ R
2
f (x, y) = g
x + y
2
, x − y
= F(x − y).
Réciproquement, si F est une fonction de classe C
1 définie sur R, il est facile de vérifier
que f : (x, y) → F (x − y) est une solution du problème.
Exercice 3.
On note V = R
∗
+ × R. Déterminer les fonctions réelles f de classe C
1 définies sur V vérifiant
x
∂f
∂x
= y
∂f
∂y
·
On posera x = u et y =
v
u
·
Solution. Soit f une solution du problème. On vérifie sans difficulté que V est un ouvert. Les
fonctions (u, v) → u et (u, v) →
v
u
, définies sur V sont de classe C
1 et c : (u, v) →
u,
v
u
est
une bijection sur V, d’application réciproque c
−1 : (x, y) → (x, xy).
En appliquant la règle des chaînes, g = f ◦ c est de classe C
1 et, pour tout (u, v) ∈ V
∂g
∂u
(u, v) =
∂f
∂x
(x, y) −
v
u 2
∂f
∂y
(x, y) =
∂f
∂x
(x, y) −
y
x
∂f
∂y
(x, y) = 0.
Ainsi, de la même manière que dans l’exercice précédent, il existe une fonction réelle F de
classe C
1 sur R telle que pour tout (u, v) ∈ V, g(u, v) = F(v) et donc telle que pour tout
(x, y) ∈ V
f (x, y) = F(xy).
Il est facile de vérifier que toute fonction définie sur V par (x, y) → F(xy), où F est une
fonction réelle de classe C
1 sur R, est une solution du problème.
Exercice 4.
On note D − l’ensemble
(x, 0) ∈ R
2
| x 0
et V = R
2
D − . Déterminer les fonctions
réelles f de classe C
1 définies sur V vérifiant
x
∂f
∂x
+ y
∂f
∂y
= 0.
On posera x = r cos u et y = r sin u.
Solution. Soit f une solution du problème. Notons V
= R
∗
+ × ]−p, p[. On vérifie sans
difficulté que V et V
sont ouverts. Les applications définies sur V
par (r, u) → r cos u et
(r, u) → r sin u sont clairement de classe C
1 . On vérifie aisément que l’application C : V
→ V
définie par C(r, u) = (r cos u, r sin u) est une bijection sur V.
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