© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Dérivées partielles, fonctions de classe C
1
où c = (c 1 , . . . , c n ) est un n-uplet de fonctions réelles, définies sur V et de classe
C
1 , tel que c(V ) ⊂ V.
On pose enfin g
u 1 , . . . , u p
= f
c 1 (u 1 , . . . , u p ), . . . , c n (u 1 , . . . , u p )
, i.e. g = f ◦ c.
On note souvent de manière condensée, et bien que cela constitue un abus, la formule
du corollaire précédent donnant les dérivées partielles de g, par
∀i ∈ Ú1, pÛ
∂g
∂u i
=
n
k=1
∂f
∂x k
×
∂x k
∂u i
·
Cette formule est connue sous le nom de formule (ou règle) des chaînes. Il est
extrêmement important de retenir cette formule et de bien en comprendre la signification (avec les abus de notations).
3.5 Exemples
Exercice 2.
1. Soit a, b, c et d quatre réels et f une fonction réelle de classe C
1 définie sur R
2 . On pose,
pour tout (u, v) ∈ R
2
x = au + bv
y = cu + dv
et g(u, v) = f (x, y). Calculer les dérivées partielles de g.
2. Déterminer les fonctions réelles de classe C
1 définies sur R
2 , vérifiant
∂f
∂x
+
∂f
∂y
= 0.
Solution.
1. Les fonctions (u, v) → au + bv et (u, v) → cu + dv sont des fonctions polynômes et donc de
classe C
1 . On peut ainsi appliquer la règle des chaînes, et donc, pour tout couple de réels
(u, v),
∂g
∂u
(u, v) = a
∂f
∂x
(x, y) + c
∂f
∂y
(x, y),
∂g
∂v
(u, v) = b
∂f
∂x
(x, y) + d
∂f
∂y
(x, y).
2. Posons a = c = 1, b =
1
2
et d = −
1
2
et soit f une fonction réelle de classe C
1 définie
sur R
2 solution du problème. Alors g est une fonction réelle de classe C
1 , définie sur R
2 ,
vérifiant
∂g
∂u
= 0. Il s’ensuit qu’il existe une fonction F définie sur R telle que
∀(u, v) ∈ R
2 g(u, v) = F(v).
131