Chapitre 5 – Fonctions réelles de plusieurs variables
Il est clair que, pour tout k ∈ Ú1, nÛ, lim
h→0
h =0
d k (h)
h
= w
k (t) et que lim
h→0
h =0
||d (h)||
|h|
=
w
(t)
.
D’autre part, f étant de classe C
1 , il existe une fonction ´ : R
n → R, telle que lim
x→0
´(x) = 0 et telle que
f ◦ w (t + h) − f ◦ w (t) =
n
k=1
∂f
∂x k
w(t)
d k (h) + ||d (h)|| ´
d(h)
.
Par continuité, la limite en 0 de d est nulle, et donc
lim
h→0
h =0
f
w(t + h)
− f
w(t)
h
−
n
k=1
∂f
∂x k
w(t)
d k (h)
h
= lim
h→0
h =0
||d(h)||
|h|
´
d(h)
= 0.
On en déduit alors que f ◦ w est dérivable en t et la formule (1), cela pour tout t de I. L’expression de la dérivée
et les résultats relatifs à la composition et aux opérations algébriques sur les fonctions continues garantissent le
caractère C
1 de f ◦ w.
❑
Exemple
Soit f : V → R une application de classe C
1 , a un élément de V et b un élément de R
n . Alors
l’application g : t → f (a + tb) est définie au voisinage de 0 et
g
(0) =
n
k=1
∂f
∂x k
(a) b k .
Composition des fonctions de classe C
1 (II)
Soit f une fonction réelle de classe C
1 définie sur V et g : V
→ V une fonction, où V
est
un ouvert non vide de R
p . On suppose que les applications composantes de g sont toutes
de classe C
1 .
Alors la fonction f ◦ g est de classe C
1 et
∀i ∈ Ú1, pÛ ∀u ∈ V
∂ (f ◦ g)
∂u i
(u) =
n
k=1
∂f
∂x k
g(u)
×
∂g k
∂u i
(u).
Preuve
Pour l’existence des dérivées partielles, il suffit d’appliquer le corollaire précédent à l’application
t → f
g1
u1, . . . , u i−1 , t, u i+1 . . . , up
, . . . , gn
u1, . . . , u i−1 , t, u i+1 , . . . , up
.
L’expression des dérivées partielles trouvées montre qu’elles sont continues, par composition, somme et produit
de fonctions continues.
❑
Notations
Soit V un ouvert non vide de R
n et V un ouvert non vide de R
p . Soit de plus f une
fonction à valeurs réelles de classe C
1 définie sur V. On pose pour tout u ∈ V
⎧
⎨
⎩
x 1 = c 1 (u 1 , . . . , u p )
· · · · · · · · ·
x n = c n (u 1 , . . . , u p ),
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