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Dérivées partielles, fonctions de classe C
1
où h
k =
h1, . . . , h k−1 , u k h k , 0, . . . , 0
. Donc, pour tout h ∈ R
n tel que ||h|| h et a + h ∈ V, puisque pour
tout k ∈ Ú1, nÛ on a
h
k
||h|| h, il vient de (i) et de l’inégalité triangulaire que
f (a + h) − f (a) −
n
k=1
∂f
∂x k
(a)h k
n
k=1
∂f
∂x k
(a + h
k ) −
∂f
∂x k
(a)
|h k |
n
k=1
∂f
∂x k
(a + h
k ) −
∂f
∂x k
(a)
||h||
n
k=1
a
n
||h|| = a ||h|| .
Le résultat annoncé en découle.
❑
Corollaire 3
Toute fonction réelle définie sur V de classe C
1 est continue.
Preuve
Avec les notations précédentes, la continuité des fonctions polynômes donne facilement lim
h→0
f(a + h) = f(a). ❑
➤ Remarque
On sait que si I est un intervalle non trivial et que si f et une fonction réelle dérivable en a ∈ I, alors f est continue
en a. En revanche, l’existence de toutes les dérivées partielles d’une fonction réelle f de plusieurs variables en un
point a n’est pas suffisante pour garantir la continuité de f en a. Par exemple, on a vu que la fonction f définie par
f (x, y) =
xy
x 2 + y 2 lorsque (x, y) = (0, 0) et f (0, 0) = 0 est discontinue en (0, 0) (cf. page 125). Pour cette fonction
le lecteur vérifiera que les dérivées partielles sont définies sur R
2 , avec, en particulier,
∂f
∂x
(0, 0) =
∂f
∂y
(0, 0) = 0.
Corollaire 4
L’ensemble C
1 (V, R) est stable par produit, i.e. pour toutes fonctions réelles f et g de
classe C
1 définies sur V, la fonction f · g est de classe C
1 .
L’ensemble C
1 (V, R) est stable par passage à l’inverse, i.e. pour toute fonction réelle f de
classe C
1 définie sur V, ne s’annulant pas, la fonction
1
f
est de classe C
1 .
Composition des fonctions de classe C
1 (I)
Soit f une fonction à valeurs réelles de classe C
1 définie sur V et w : I → V une fonction
de classe C
1 , où I est un intervalle non trivial de R.
Alors la fonction f ◦ w est de classe C
1 et
(1)
∀t ∈ I (f ◦ w)
(t) =
n
k=1
∂f
∂x k
w(t)
× w
k (t).
Preuve
Soit t ∈ I et posons, pour h réel non nul tel que t + h ∈ I,
d(h) = w (t + h) − w (t) =
d1(h), . . . , dn(h)
.
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Dérivées partielles, fonctions de classe C
1
où h
k =
h1, . . . , h k−1 , u k h k , 0, . . . , 0
. Donc, pour tout h ∈ R
n tel que ||h|| h et a + h ∈ V, puisque pour
tout k ∈ Ú1, nÛ on a
h
k
||h|| h, il vient de (i) et de l’inégalité triangulaire que
f (a + h) − f (a) −
n
k=1
∂f
∂x k
(a)h k
n
k=1
∂f
∂x k
(a + h
k ) −
∂f
∂x k
(a)
|h k |
n
k=1
∂f
∂x k
(a + h
k ) −
∂f
∂x k
(a)
||h||
n
k=1
a
n
||h|| = a ||h|| .
Le résultat annoncé en découle.
❑
Corollaire 3
Toute fonction réelle définie sur V de classe C
1 est continue.
Preuve
Avec les notations précédentes, la continuité des fonctions polynômes donne facilement lim
h→0
f(a + h) = f(a). ❑
➤ Remarque
On sait que si I est un intervalle non trivial et que si f et une fonction réelle dérivable en a ∈ I, alors f est continue
en a. En revanche, l’existence de toutes les dérivées partielles d’une fonction réelle f de plusieurs variables en un
point a n’est pas suffisante pour garantir la continuité de f en a. Par exemple, on a vu que la fonction f définie par
f (x, y) =
xy
x 2 + y 2 lorsque (x, y) = (0, 0) et f (0, 0) = 0 est discontinue en (0, 0) (cf. page 125). Pour cette fonction
le lecteur vérifiera que les dérivées partielles sont définies sur R
2 , avec, en particulier,
∂f
∂x
(0, 0) =
∂f
∂y
(0, 0) = 0.
Corollaire 4
L’ensemble C
1 (V, R) est stable par produit, i.e. pour toutes fonctions réelles f et g de
classe C
1 définies sur V, la fonction f · g est de classe C
1 .
L’ensemble C
1 (V, R) est stable par passage à l’inverse, i.e. pour toute fonction réelle f de
classe C
1 définie sur V, ne s’annulant pas, la fonction
1
f
est de classe C
1 .
Composition des fonctions de classe C
1 (I)
Soit f une fonction à valeurs réelles de classe C
1 définie sur V et w : I → V une fonction
de classe C
1 , où I est un intervalle non trivial de R.
Alors la fonction f ◦ w est de classe C
1 et
(1)
∀t ∈ I (f ◦ w)
(t) =
n
k=1
∂f
∂x k
w(t)
× w
k (t).
Preuve
Soit t ∈ I et posons, pour h réel non nul tel que t + h ∈ I,
d(h) = w (t + h) − w (t) =
d1(h), . . . , dn(h)
.
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