Chapitre 5 – Fonctions réelles de plusieurs variables
Exemple
Les fonctions polynômes de n variables sont de classe C
1 sur R
n . Il suffit de démontrer ce
résultat sur les monômes m a , pour tout n-uplet d’entiers a = (a 1 , . . . , a n )(cf. page 123). Soit
donc a = (a 1 , . . . , a n ) fixé. Pour tout k de Ú1, nÛ et pour tout x = (x 1 , . . . , x n ) de R
n
∂m a
∂x k
(x) =
a k x
a1
1 · · · x
ak−1
k
· · · x
an
n , si a k = 0 ;
0,
sinon.
Dans tous les cas, toutes les dérivées partielles
∂m a
∂x k
sont définies et sont des fonctions polynômes, donc elles sont continues. Cela correspond à ce qui devait être démontré.
3.4 Théorème d’approximation. Applications
Comme précédemment, V est un ouvert non vide de R
n .
Théorème 5
Soit f une fonction réelle de classe C
1 définie sur V et a un élément de V. Alors, il existe
une fonction ´ : R
n
→ R telle que
• pour tout h tel que a + h soit un élément de V,
f (a + h) = f (a) +
n
k=1
∂f
∂x k
(a)h k + ||h|| ´ (h) ;
• lim
h→0
´(h) = 0.
Preuve
On définit la fonction ´ par
´(h) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
1
||h||
f (a + h) − f (a) −
n
k=1
∂f
∂x k
(a)h k
, si h = 0 et a + h ∈ V ;
0,
sinon.
Il s’agit de démontrer que lim
h→0
´(h) = 0. Soit donc a un réel strictement positif. Par continuité des dérivées
partielles, il existe h strictement positif tel que pour tout k ∈ Ú1, nÛ
(i)
∀h
∈ R
n
a + h
∈ V et
h
h
⇒
∂f
∂x k
(a + h
) −
∂f
∂x k
(a)
a
n
·
Fixons un tel h. Notons, pour k ∈ Ú0, nÛ et h = (h1, . . . , hn) ∈ R
n , h
k = (h1, . . . , h k , 0, . . . , 0). Ainsi, lorsque
a + h ∈ V
f (a + h) − f (a) =
n
k=1
f
a + h
k
− f
a + h
k−1
,
et donc, après avoir fixé h non nul, en appliquant le théorème des accroissements finis aux fonctions
t → f
a1 + h1, . . . , a k−1 + h k−1 , t, a k+1 , . . . , an
, il existe (u1, . . . , un) ∈ ]0, 1[
n tel que
f (a + h) − f (a) −
n
k=1
∂f
∂x k
(a)h k =
n
k=1
∂f
∂x k
(a + h
k ) −
∂f
∂x k
(a)
h k ,
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