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Dérivées partielles, fonctions de classe C
1
• Lorsque f est à valeurs dans un intervalle I, ayant en a un k-ième nombre dérivé
partiel, et que w est une fonction dérivable à valeurs réelles, alors
∂(w ◦ f )
∂x k
(a) = w
f (a)
×
∂f
∂x k
(a).
• La notation
∂
∂x i
désigne, pour tout entier naturel n i et pour toute partie A de
R
n , l’application f →
∂f
∂x i
, définie sur D i (A, R) à valeurs dans R
A , où D i (A, R) est
l’ensemble des fonctions réelles définies sur A dont la i-ième dérivée partielle est
également définie sur A.
• Lorsque tous les nombres dérivés partiels sont définis en a, le gradient de f en a,
noté ∇f (a) ou
− − →
grad a f , est l’élément de R
n
∇f (a) =
∂f
∂x 1
(a), . . . ,
∂f
∂x n
(a)
.
➤ Remarque
Lorsque n = 2, on note souvent
∂f
∂x
(a) et
∂f
∂y
(a) pour
∂f
∂x1
(a) et
∂f
∂x2
(a) respectivement. On adopte des conventions
similaires lorsque n = 3.
3.3 Fonctions de classe C
1
Dans ce paragraphe, V est un ouvert non vide de R
n .
Définition 6
Une fonction définie sur V à valeurs réelles sera dite de classe C
1 lorsque toutes les dérivées
partielles sont définies sur V, et qu’elles sont toutes continues.
On note C
1 (V, R) l’ensemble des fonctions de classe C
1 définies sur V à valeurs réelles.
➤ Remarque
Le caractère C
1 est une propriété locale.
Si V ⊂ V est un ouvert et si f ∈ C
1
V, R
, alors f |V ∈ C
1
V , R
Proposition 2
L’ensemble C
1 (V, R) est un R-espace vectoriel pour les lois usuelles.
Preuve
En vertu des calculs rappelés au paragraphe précédent, on vérifie facilement que C
1
V, R
est un sous-espace
vectoriel de R V .
❑
127
Dérivées partielles, fonctions de classe C
1
• Lorsque f est à valeurs dans un intervalle I, ayant en a un k-ième nombre dérivé
partiel, et que w est une fonction dérivable à valeurs réelles, alors
∂(w ◦ f )
∂x k
(a) = w
f (a)
×
∂f
∂x k
(a).
• La notation
∂
∂x i
désigne, pour tout entier naturel n i et pour toute partie A de
R
n , l’application f →
∂f
∂x i
, définie sur D i (A, R) à valeurs dans R
A , où D i (A, R) est
l’ensemble des fonctions réelles définies sur A dont la i-ième dérivée partielle est
également définie sur A.
• Lorsque tous les nombres dérivés partiels sont définis en a, le gradient de f en a,
noté ∇f (a) ou
− − →
grad a f , est l’élément de R
n
∇f (a) =
∂f
∂x 1
(a), . . . ,
∂f
∂x n
(a)
.
➤ Remarque
Lorsque n = 2, on note souvent
∂f
∂x
(a) et
∂f
∂y
(a) pour
∂f
∂x1
(a) et
∂f
∂x2
(a) respectivement. On adopte des conventions
similaires lorsque n = 3.
3.3 Fonctions de classe C
1
Dans ce paragraphe, V est un ouvert non vide de R
n .
Définition 6
Une fonction définie sur V à valeurs réelles sera dite de classe C
1 lorsque toutes les dérivées
partielles sont définies sur V, et qu’elles sont toutes continues.
On note C
1 (V, R) l’ensemble des fonctions de classe C
1 définies sur V à valeurs réelles.
➤ Remarque
Le caractère C
1 est une propriété locale.
Si V ⊂ V est un ouvert et si f ∈ C
1
V, R
, alors f |V ∈ C
1
V , R
Proposition 2
L’ensemble C
1 (V, R) est un R-espace vectoriel pour les lois usuelles.
Preuve
En vertu des calculs rappelés au paragraphe précédent, on vérifie facilement que C
1
V, R
est un sous-espace
vectoriel de R V .
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