Chapitre 5 – Fonctions réelles de plusieurs variables
Exemples
1. L’ensemble R
n est ouvert. Le vide est ouvert.
2. La boule ouverte de centre a ∈ R
n et de rayon r est ouverte.
3. Une intersection finie d’ouverts est un ouvert.
4. Un ensemble fini non vide n’est jamais ouvert.
5. Une droite dans le plan R
2 n’est pas un ouvert.
3.2 Rappels
Soit V un ensemble ouvert non vide et f une application définie sur V à valeurs
réelles.
• Pour tout élément a de V et pour tout k de Ú1, nÛ, le k-ième nombre dérivé
partiel en a est — si ce nombre existe — le nombre dérivé en a k de l’application
t → f (a 1 , . . . , a k−1 , t, a k+1 , . . . , a n ). On le note
∂f
∂x k
(a), ou ∂ k f (a), ou bien encore
f
xk (a) ; cette liste de notations n’est pas exhaustive et le lecteur est susceptible d’en
rencontrer d’autres. Si, pour tout a ∈ V, le nombre
∂f
∂x k
(a) est défini, l’application
∂f
∂x k
: a →
∂f
∂x k
(a) est la k-ième application dérivée partielle.
➤ Remarque
Le fait d’imposer que le domaine de définition de f soit un ouvert garantit que pour tout élément a de V,
la k-ième application partielle est définie au voisinage de a k . On peut néanmoins parfois définir les dérivées
partielles de fonctions définies un ensemble qui n’est pas ouvert. Il existe par exemple des fonctions définies
sur [0, 1]
2 ayant des dérivées partielles. Il est en revanche impossible de définir les dérivées partielles d’une
fonction qui serait définie sur le cercle
(x, y) ∈ R
2
x
2 + y
2 = 1
.
• Lorsque l est un réel, lorsque f et g sont des applications de V dans R, ayant en a
un k-ième nombre dérivé partiel, on a
∂(lf )
∂x k
(a) = l
∂f
∂x k
(a) ;
∂(f + g)
∂x k
(a) =
∂f
∂x k
(a) +
∂g
∂x k
(a) ;
∂(f × g)
∂x k
(a) =
∂f
∂x k
(a) × g(a) + f (a) ×
∂g
∂x k
(a) ;
∂
1
f
∂x k
(a) = −
1
f 2 (a)
×
∂f
∂x k
(a),
cette dernière formule n’étant évidemment valable que dans le cas où la fonction f
ne s’annule pas en a.
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