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Dérivées partielles, fonctions de classe C
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2.3 Une erreur commune
On l’a vu, si une fonction réelle f définie sur une partie non vide A de R
n est continue,
alors les applications partielles sont continues. La réciproque est fausse.
Considérons en effet l’application f définie sur R
2 par
f (x, y) =
xy
x 2 + y 2 , si (x, y) = (0, 0) ;
0,
sinon.
Il est immédiat que, pour tout réel b non nul et pour tout réel a, la première application partielle en (a, b), c’est-à-dire l’application x → f (x, b)
=
xb
x 2 + b 2
est continue sur R. Il est clair que l’application x → f (x, 0), est continue (c’est l’application nulle). Ainsi, en tout point, la première application partielle est continue. De
manière symétrique, en tout point la seconde application partielle est continue. En
revanche f n’est pas continue. Si elle l’était, on aurait, par composition des limites,
lim
x→0 +
f (x, x) = f (0, 0) = 0, alors que pour tout x non nul, f (x, x) =
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2
·
3. Dérivées partielles, fonctions de classe C
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3.1 Partie ouverte
Définition 5
1. Soit a ∈ R
n et r un réel positif. La boule ouverte (resp. fermée) de centre a et de
rayon r, notée B O (a, r) (resp. B F (a, r)), est
B O (a, r) = {x ∈ R
n
| ||x − a|| < r }
(resp. B F (a, r) = {x ∈ R
n
| ||x − a|| r }).
2. On dit qu’une partie V de R
n est ouverte (ou qu’elle est un ouvert) si et seulement
si pour tout a ∈ V, il existe un réel strictement positif r tel que la boule B O (a, r) soit
incluse dans V.
Sur la figure 5.2 ci-dessous, la partie A est ouverte alors que la partie B, obtenue en
adjoignant à A son « bord », ne l’est pas.
B
A
Figure 5.2 Ensemble ouvert et non ouvert
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