Chapitre 5 – Fonctions réelles de plusieurs variables
Théorème 4 (Composition des fonctions continues)
Soit p un entier naturel non nul et A une partie non vide de R
n .
Soit de plus p fonctions réelles continues g 1 , . . . , g p définies sur A.
Soit enfin une application continue f : B → R, où B est une partie de R
p telle que
∀x ∈ A
g 1 (x), . . . , g p (x)
∈ B.
Alors l’application h : A → R définie par h(x) = f
g 1 (x), . . . , g p (x)
est continue.
Un cas particulier important est celui où g est une application continue d’un intervalle non trivial I de R à valeurs dans une partie A de R
n et f est une application
continue de A dans R. Alors f ◦ g est une application continue de I dans R.
Exemple
Soit (a, b) ∈
R
2
2 . Si f : R
2
→ R est une application continue, l’application
h : t → f (a + bt) définie sur R est continue.
Un autre cas particulier important est celui où g ∈ C
0 (A, R) et où f ∈ C
0 (I, R),
avec g (A) ⊂ I. Dans ces conditions, f ◦ g ∈ C
0 (A, R).
Exemple
L’application f définie sur R
2 par f (x, y) =
sin
e
x + xy
2
ln
2 + x 2 + y 2
est continue.
Rappelons que si A est une partie de R
n , a = (a 1 , . . . , a n ) est un élément de A, f est
une application définie sur A et que k est un entier compris entre 1 et n, la k-ième
application partielle de f en a est l’application définie sur
A a,k = {t ∈ R | (a 1 , . . . , a k−1 , t, a k+1 , . . . , a n ) ∈ A }
par
t → f (a 1 , . . . , a k−1 , t, a k+1 , . . . , a n )
(Voir tome I, chapitre 18, paragraphe 1.4).
Continuité des applications partielles
Soit A une partie non vide R
n et f une application réelle continue définie sur A.
Alors pour tout (a 1 , . . . , a n ) élément de A et pour tout k ∈ Ú1, nÛ, l’application partielle
t → f (a 1 , . . . , a k−1 , t, a k+1 , . . . , a n ), est continue.
Preuve
Il suffit, avec les notations du théorème précédent, de considérer l’application projection g k : x → x k et les
applications constantes g i = a i , pour i ∈ Ú1, nÛ {k}, afin de conclure.
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