© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Continuité
3. Soit i ∈ Ú1, nÛ. L’application projection p i : R
n
→ R définie par p i (x 1 , . . . , x n ) = x i est
continue. En effet, soit x ∈ R
n et ´ un réel strictement positif. Alors, pour tout y ∈ R
n tel
que ||x − y|| ´, on a
|p i (y) − p i (x)| = |y i − x i | ||y − x|| ´.
2.2 Propriétés
Le théorème 2 permet d’obtenir très facilement le théorème suivant.
Théorème 3
Soit A une partie non vide de R
n , f et g deux applications continues de A dans R.
Alors les applications f +g, f ·g, lf et, si f ne s’annule pas,
1
f
sont des applications continues.
Corollaire 1
Soit A une partie non vide de R
n . Alors C
0 (A, R) est un R-espace vectoriel.
Preuve
Il est clair, d’après ce qui précède, que C
0 (A, R) est un sous-espace vectoriel de R
A .
❑
Définition 4
Pour tout n-uplet d’entiers naturels a = (a 1 , . . . , a n ), on note m a : R
n
→ R l’application
définie par
m a (x 1 , . . . , x n ) = x
a1
1 · · · x
an
n .
Une fonction m a est un monôme (de n variables).
Une fonction polynôme ou polynomiale (de n variables) est une combinaison linéaire
de monômes m a .
On note R [X 1 , . . . , X n ] l’ensemble des fonctions polynômes.
Proposition 1 (Continuité des applications polynômiales)
On a l’inclusion R [X 1 , . . . , X n ] ⊂ C
0 (R n , R), c’est-à-dire que toute fonction polynôme
est continue.
Preuve
Puisque l’ensemble des fonctions continues est stable par combinaisons linéaires, il suffit de montrer que les
fonctions ma sont continues, pour tout a ∈ N
n . Par ailleurs, pour tout a = (a1, . . . , an), ma = p
a1
1 · · · p
an
n et
donc, du fait que les fonctions projections p i et les fonctions constantes sont continues, les fonctions ma sont
continues.
❑
Le théorème 1 page 121 donne immédiatement le résultat suivant.
123
Continuité
3. Soit i ∈ Ú1, nÛ. L’application projection p i : R
n
→ R définie par p i (x 1 , . . . , x n ) = x i est
continue. En effet, soit x ∈ R
n et ´ un réel strictement positif. Alors, pour tout y ∈ R
n tel
que ||x − y|| ´, on a
|p i (y) − p i (x)| = |y i − x i | ||y − x|| ´.
2.2 Propriétés
Le théorème 2 permet d’obtenir très facilement le théorème suivant.
Théorème 3
Soit A une partie non vide de R
n , f et g deux applications continues de A dans R.
Alors les applications f +g, f ·g, lf et, si f ne s’annule pas,
1
f
sont des applications continues.
Corollaire 1
Soit A une partie non vide de R
n . Alors C
0 (A, R) est un R-espace vectoriel.
Preuve
Il est clair, d’après ce qui précède, que C
0 (A, R) est un sous-espace vectoriel de R
A .
❑
Définition 4
Pour tout n-uplet d’entiers naturels a = (a 1 , . . . , a n ), on note m a : R
n
→ R l’application
définie par
m a (x 1 , . . . , x n ) = x
a1
1 · · · x
an
n .
Une fonction m a est un monôme (de n variables).
Une fonction polynôme ou polynomiale (de n variables) est une combinaison linéaire
de monômes m a .
On note R [X 1 , . . . , X n ] l’ensemble des fonctions polynômes.
Proposition 1 (Continuité des applications polynômiales)
On a l’inclusion R [X 1 , . . . , X n ] ⊂ C
0 (R n , R), c’est-à-dire que toute fonction polynôme
est continue.
Preuve
Puisque l’ensemble des fonctions continues est stable par combinaisons linéaires, il suffit de montrer que les
fonctions ma sont continues, pour tout a ∈ N
n . Par ailleurs, pour tout a = (a1, . . . , an), ma = p
a1
1 · · · p
an
n et
donc, du fait que les fonctions projections p i et les fonctions constantes sont continues, les fonctions ma sont
continues.
❑
Le théorème 1 page 121 donne immédiatement le résultat suivant.
123