Chapitre 5 – Fonctions réelles de plusieurs variables
Preuve
Soit ´ un réel strictement positif. Il existe d’après l’hypothèse ii) un réel strictement positif d tel que pour tout
y ∈ B tel que ||y − b|| d, on ait |f(x) − L| ´. Fixons un tel d. Pour tout k ∈ Ú1, pÛ, l’hypothèse i)
garantit qu’il existe un réel strictement positif h k tel que pour tout x ∈ A tel que ||x − a|| h k , on ait
|g k (x) − b k |
d
√
p
· Posons h = min{h1, . . . , hp}. Pour tout x élément de A tel que ||x − a|| h, on a de
part la croissance de la fonction racine carrée,
||g(x) − b|| =
p
k=1
g k (x) − b k
2
p
k=1
d
2
p
= d,
et donc
f
g(x)
− L
´. Cela correspond au résultat annoncé.
❑
Théorème 2 (Opérations algébriques sur les limites)
Soit A une partie non vide de R
n , a un point adhérent à A, f et g deux applications de A
dans R.
On suppose que f et g ont des limites en a et on note L = lim
x→a
f (x) et L
= lim
x→a
g(x).
Alors les applications f + g, f · g, lf et, si L = 0,
1
f
ont des limites en a. De plus
a) lim
x→a
f (x) + g(x) = L + L
;
b) lim
x→a
f (x) · g(x) = L · L
;
c) lim
x→a
lf (x) = lL ;
d) lim
x→a
1
f (x)
=
1
L
·
Preuve
On procède de la même manière que pour les fonctions réelles de la variable réelle.
❑
2. Continuité
2.1 Définition
Définition 3
Soit A une partie non vide de R
n , a un point de A et f : A → R une application.
On dit que f est continue en a, si et seulement si lim
x→a
f (x) = f (a).
L’application f est continue si et seulement si elle est continue en tout point de A.
On note C
0 (A, R) l’ensemble des fonctions continues définies sur A, à valeurs réelles.
Exemples
1. Les fonctions constantes sont continues.
2. Caractère local de la continuité : la continuité est stable par restriction. Soit f : A → R une
application continue et B ⊂ A une partie non vide. Alors f |B est continue.
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