© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Limites
➤ Remarques
• Lorsque n = 1 et que f est définie au voisinage d’un réel a, cette définition coïncide avec celle qui a été vue en
première année.
• Il est clair qu’une fonction n’a pas nécessairement de limite en un point adhérent au domaine de définition. Il
faut toujours justifier la notation lim.
• Étant donnée une application f : A → R, où A est une partie non vide de R
n et a un point adhérent à A, il
suffit, pour montrer que la limite de f en a est L, d’exhiber une application g : [0, +∞[ → R+ telle que
• pour tout x ∈ A, |f(x) − L| g
||x − a||
;
• la limite de g en 0 est nulle.
• Caractère local de la limite. Soit f : A → R une application et B ⊂ A une partie non vide. Si a est adhérent à B
et si lim
x→a
f (x) = L, alors lim
x→a
f |B (x) = L.
• Soit f : A → R une application. Si a est un élément de A et si f admet une limite en a, alors cette limite est
nécessairement f (a).
Exercice 1.
Soit f : R
2
{ (0, 0) } → R l’application définie par
f (x, y) =
x
2 y
x 2 + y 2 ·
Déterminer la limite de f en (0, 0).
On posera, pour (x, y) = (0, 0), x = r cos u et y = r sin u.
Solution. Soit (x, y) ∈ R
2
{(0, 0)}. On sait qu’il existe un réel u tel que x = r cos u et
y = r sin u, avec r = ||(x, y)||. Il s’ensuit que
f (x, y) =
r
3 cos
2 u sin u
r 2
= r cos
2 u sin u ;
et donc
|f (x, y)| ||(x, y)|| .
D’après une remarque ci-dessus, lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y) = 0.
1.2 Propriétés
Théorème 1 (Composition des limites)
Soit p un entier naturel non nul, A une partie non vide de R
n et B une partie de R
p .
On considère une application g définie sur A à valeurs dans B, et f une application définie
sur B à valeurs réelles.
Si, lorsque a est adhérent à A,
i) pour tout k ∈ Ú1, pÛ, l’application composante associée g k a une limite b k en a ;
ii) la fonction f a pour limite L en b =
b 1 , . . . , b p
;
alors
lim
x→a
f
g 1 (x), . . . , g p (x)
= L.
121
Limites
➤ Remarques
• Lorsque n = 1 et que f est définie au voisinage d’un réel a, cette définition coïncide avec celle qui a été vue en
première année.
• Il est clair qu’une fonction n’a pas nécessairement de limite en un point adhérent au domaine de définition. Il
faut toujours justifier la notation lim.
• Étant donnée une application f : A → R, où A est une partie non vide de R
n et a un point adhérent à A, il
suffit, pour montrer que la limite de f en a est L, d’exhiber une application g : [0, +∞[ → R+ telle que
• pour tout x ∈ A, |f(x) − L| g
||x − a||
;
• la limite de g en 0 est nulle.
• Caractère local de la limite. Soit f : A → R une application et B ⊂ A une partie non vide. Si a est adhérent à B
et si lim
x→a
f (x) = L, alors lim
x→a
f |B (x) = L.
• Soit f : A → R une application. Si a est un élément de A et si f admet une limite en a, alors cette limite est
nécessairement f (a).
Exercice 1.
Soit f : R
2
{ (0, 0) } → R l’application définie par
f (x, y) =
x
2 y
x 2 + y 2 ·
Déterminer la limite de f en (0, 0).
On posera, pour (x, y) = (0, 0), x = r cos u et y = r sin u.
Solution. Soit (x, y) ∈ R
2
{(0, 0)}. On sait qu’il existe un réel u tel que x = r cos u et
y = r sin u, avec r = ||(x, y)||. Il s’ensuit que
f (x, y) =
r
3 cos
2 u sin u
r 2
= r cos
2 u sin u ;
et donc
|f (x, y)| ||(x, y)|| .
D’après une remarque ci-dessus, lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y) = 0.
1.2 Propriétés
Théorème 1 (Composition des limites)
Soit p un entier naturel non nul, A une partie non vide de R
n et B une partie de R
p .
On considère une application g définie sur A à valeurs dans B, et f une application définie
sur B à valeurs réelles.
Si, lorsque a est adhérent à A,
i) pour tout k ∈ Ú1, pÛ, l’application composante associée g k a une limite b k en a ;
ii) la fonction f a pour limite L en b =
b 1 , . . . , b p
;
alors
lim
x→a
f
g 1 (x), . . . , g p (x)
= L.
121