Chapitre 5 – Fonctions réelles de plusieurs variables
Définition 1
Soit A une partie de R
n . On dit que a ∈ R
n est adhérent à A lorsque pour tout réel
r > 0, il existe un élément x de A tel que ||x − a|| r.
On note A l’ensemble des points adhérents à A. On dit que A est l’adhérence de A.
➤ Remarque
Il est clair que A ⊂ A.
Sur la figure 5.1, les points M et N sont adhérents à A, alors que P ne l’est pas.
A
M
N
P
Figure 5.1 Points adhérents et non adhérents
Exemples
1. L’adhérence de l’ensemble vide est l’ensemble vide.
2. Si n = 1 et si f est définie au voisinage d’un réel x 0 , alors x 0 est adhérent au domaine de
définition de f .
3. Si A =
(x, y) ∈ R
2
| x > 0
, alors A =
(x, y) ∈ R
2
| x 0
.
4. Si A =
(x, y) ∈ R
2
x
2 + y
2
1
, alors A = A.
Définition 2
Soit A une partie non vide de R
n , f une application de A dans R, a un élément de R
n
adhérent à A et L un réel.
On dit que L est une limite de la fonction f en a si et seulement si
∀´ ∈ R
∗
+
∃h ∈ R
∗
+ ∀x ∈ A
||x − a|| h =⇒ |f (x) − L| ´.
On démontre, de la même manière que pour les fonctions de la variable réelle, que
si L et L sont deux limites de f en a, alors L et L sont égaux. En d’autres termes,
on a l’unicité d’une limite éventuelle. On note alors lim
x→a
f (x) = L, ou lim
a
f = L, ou
encore f (x) −→
x→a
L.
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