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Fonctions réelles
de plusieurs variables
Dans ce chapitre, n désignera un entier naturel non nul. On cherche à étudier les
fonctions réelles définies sur une partie non vide A de R
n .
On notera, comme d’habitude, pour tout n-uplet x = (x 1 , . . . , x n ) de réels, ||x|| la
norme euclidienne de x, c’est-à-dire
||x|| =
n
k=1
x 2
k .
Par ailleurs, on adoptera les conventions suivantes.
• Lorsque une lettre x désigne un élément de R
p , où p est un entier naturel non nul,
x k désigne la k-ième composante de x, où bien entendu k un élément de Ú1, pÛ.
• Lorsque f est une application d’un ensemble E à valeurs dans R
p , où p est un entier
naturel non nul, et lorsque k est un élément de Ú1, pÛ, f k désigne la k-ième application composante associée. Rappelons que les applications composantes associées
sont définies par la relation f (x) =
f 1 (x), . . . , f p (x)
.
• On dira qu’un intervalle de R est non trivial lorsqu’il est non vide et non réduit à
un point.
1. Limites
On commence par étendre aux fonctions de plusieurs variables les notions de limite
et de continuité.
1.1 Définitions
Pour parler de la limite d’une fonction définie sur un ensemble A, il est d’abord
nécessaire de définir en quels points on peut considérer une limite éventuelle.