Chapitre 4 – Séries numériques
3. En déduire que les séries
|c n (f ) |
2 et
|c −n (f ) |
2 sont convergentes.
4. Montrer que pour toute fonction continue par morceaux g : [−p, p] → C,
lim
n→+∞
p
−p
g(t) sin (nt) dt = lim
n→+∞
p
−p
g(t) cos (nt) dt = 0.
(Lemme de Riemann-Lebesgue)
5. Calculer, pour tout réel t
D n (t) =
n
k=−n
e
ikt .
6. Montrer que lim
n→+∞
p
−p
t
2 D n (t) dt = 0.
7. En déduire la valeur de
+∞
k=1
(−1)
k+1
k 2
et de
+∞
k=1
1
k 2 ·
14.
Encore la constante d’Euler
Soit f : R + → R + une fonction de classe C
2 , soit convexe, soit concave. On suppose de plus
que lim
x→+∞
f
(x) = 0.
1. Montrer que pour tout a et b éléments de R + , a < b,
b
a
f (t) dt − (b − a) f (c)
(b − a)
2
8
|f
(b) − f
(a) |,
où c =
a + b
2
· On utilisera la relation de Chasles et on fera deux intégrations par parties.
2. En déduire que la série
f (n) −
n+
1
2
n−
1
2
f (t) dt
est convergente. En notant S la somme,
vérifier que pour tout entier naturel non nul n
(i)
n
k=1
f (k) =
n+
1
2
1
2
f (t) dt + S − R n ,
où
|R n |
1
8
f
n +
1
2
·
3. On rappelle que la constante d’Euler est définie par g = lim
n→+∞
n
k=1
1
k
− ln n. Montrer que
n
k=1
1
k
= ln
n +
1
2
+ g − r n ,
avec |r n |
1
2 (2n + 1)
2 ·
4. Écrire une fonction Scilab donnant une valeur approchée de g à ´ près.
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