EXERCICES
12.
Dérivation terme à terme
Soit a et b deux réels, avec a < b et (f n ) une suite de fonctions de classe C
2 , définies sur [a, b],
à valeurs réelles. On pose, pour tout entier naturel n,
a n = max
x∈[a,b]
|f
n (x)| .
On suppose que
pour tout x ∈ [a, b], la série
f n (x) est convergente ;
la série
a n est convergente.
On note enfin, pour tout x ∈ [a, b], f (x) =
+∞
k=0
f k (x).
1. Soit x ∈ [a, b] et h un réel non nul tel que x + h ∈ [a, b]. Montrer que la série
f
n (x) est
convergente et que
f (x + h) − f (x) − h
+∞
k=0
f
k (x)
h
2
2
+∞
k=0
a k .
En déduire que f est une fonction dérivable et que, pour tout x ∈ [a, b], f
(x) =
+∞
k=0
f
k (x).
2. Soit (c n ) une suite réelle. On suppose qu’il existe un réel strictement positif r tel que la suite
|c n | r
n
soit bornée. Montrer que l’application x →
+∞
k=0
c k x
k est bien définie, de classe C
∞
sur ]−r, r[.
3. Soit (b n ) une suite réelle. On suppose que la série
e
−bn est convergente. Montrer que
l’application x →
+∞
k=0
e
−bnx est bien définie sur [1, +∞[ et de classe C
∞ sur ]1, +∞[.
13.
Inégalité de Bessel et une somme due à Euler
Soit f : [−p, p] → C une fonction continue par morceaux. On pose, pour tout entier
relatif n,
c n (f ) =
1
2p
p
−p
f (t) e
−int dt
et, pour tout entier naturel n, P n (f ) l’application définie par
P n (f ) (x) =
n
k=−n
c k (f ) e
ikx .
1. Montrer, pour tout entier naturel n, que
1
2p
p
−p
|P n (f ) (x) |
2 dx =
n
k=−n
|c k (f ) |
2 .
2. Vérifier, pour tout entier naturel n que
1
2p
p
−p
|f (x) − P n (f ) (x) |
2 dx =
1
2p
p
−p
|f (x)|
2 dx −
n
k=−n
|c k (f ) |
2 .
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