Chapitre 4 – Séries numériques
9.
Pour tout entier naturel non nul n, on note c n le nombre de chiffre de l’écriture
décimale de n.
Donner la nature des séries
1
c n
,
1
nc n
,
1
c n
n
et
1
c n
cn
·
10.
Formules de Leibniz et de Machin ; logarithmes
Soit a un réel strictement positif.
1. Montrer, pour tout entier naturel n et pour tout réel x positif, que
n
k=0
(−1)
k x
ak+1
ak + 1
=
x
0
1 − (−t
a )
n+1
1 + t a
dt.
2. Montrer, pour tout x ∈ [0, 1], que
+∞
k=0
(−1)
k x
ak+1
ak + 1
=
x
0
dt
1 + t a ·
Préciser cette formule lorsque a = 1 et a = 2.
3. Soit un entier p supérieur ou égal à 2.
a. Montrer que
ln p =
+∞
k=1
1
k
p − 1
p
k
et pour tout entier naturel non nul n
ln p −
n
k=1
1
k
p − 1
p
k
p
n + 1
p − 1
p
n+1
·
b. Écrire une fonction Scilab, n’utilisant que les opérations arithmétiques, donnant une
valeur approchée à ´ près de ln p.
4. Calculer
+∞
k=0
(−1)
k
2k + 1
(formule de Leibniz).
5. Montrer que
p
4
= 4 Arctan
1
5
− Arctan
1
239
·
(formule de Machin)
6. Écrire une fonction Scilab, prenant en argument un réel strictement positif ´ et n’utilisant
que les opérations arithmétiques, qui donne une valeur approchée de p à ´ près. On pourra
utiliser l’exercice 2 page 87 sur les séries alternées.
11.
1. Montrer que 1! + 2! + · · · + n! ∼ n!.
2. Montrer que
+∞
k=n
1
k!
∼
1
n!
·
116