EXERCICES
2. On suppose que la suite (a n ) est à valeurs strictement positive. Montrer que si
lim
n→+∞
a n+1
a n
= L, alors
la série
a n est
convergente si L < 1 ;
divergente si L > 1.
(Règle de d’Alembert)
3. Soit a un réel et (u n ) la suite définie par u n =
1
(n + 1) a . Calculer lim
n→+∞
n
√
a n et lim
n→+∞
a n+1
a n
.
Commentaires ?
7.
Soit (a k ) une suite à valeurs strictement positives. On note, comme d’habitude,
S n =
n
k=0
a k .
1. Calculer, pour tout entier naturel non nul n
n
k=1
1 −
a k
S k
.
2. Montrer que les séries
a n et
a n
S n
sont de même nature.
3. On suppose que la série
a n diverge. Montrer que la série
a n
S a
n
, où a est un réel,
converge si, et seulement si, a > 1.
(Remarquer, lorsque a > 1, que
a n
S a
n
Sn
Sn−1
dt
t a ·)
8.
Transformation d’Abel
Soit (a n ) une suite complexe et (b n ) une suite réelle. On note, pour tout entier naturel n,
S n =
n
k=0
a k . On suppose que
i) la suite (S n ) est bornée ;
ii) la suite (b n ) est décroissante, convergeant vers 0.
1. Montrer que pour tout entier naturel n
n
k=0
a k b k = b n S n +
n−1
k=0
S k (b k − b k+1 ) .
2. En déduire que la série
a n b n est convergente.
3. Soit u ∈ ]0, 2p[. Montrer que les séries
sin (nu)
n
et
cos (nu)
n
sont convergentes.
115