Chapitre 4 – Séries numériques
i) a n =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
1
n
,
si n n’est pas divisible par 3 ;
−
2
n
, si n est un multiple non nul de 3 ;
0
sin = 0 ;
(Montrer que lim
n→+∞
3n
k=n+1
1
k
= ln 3)
3.
Soit a et b deux nombres complexes et (u n ) une suite récurrente linéaire d’ordre 2,
vérifiant pour tout entier naturel n la relation
u n+2 = a u u+1 + b u n .
On suppose de plus que les racines de P = X
2
− aX − b sont toutes de module strictement
inférieur à un.
1. Montrer que la série
u n est convergente.
2. Calculer, en fonction de u 0 et u 1 ,
+∞
k=0
u k .
4.
Séries de Bertrand
1. Déterminer, pour b réel positif, la nature de la série
1
n ln
b n
· On pourra comparer avec
une intégrale.
2. Déterminer, en fonction de a et b réels, la nature de la série
1
n a ln
b n
·
5.
Principe de condensation
Soit (a n ) n1 une suite réelle décroissante.
1. Montrer que les séries
a n et
2
n a 2 n sont de même nature.
2. Retrouver ainsi la nature de la série
1
n a , avec a 0.
3. Retrouver ainsi la nature de la série
1
n ln
b n
, avec b 0.
6.
Règles de Cauchy et de d’Alembert
Soit (a n ) une suite réelle, à valeurs positives.
1. On suppose que lim
n→+∞
n
√
a n = L. Montrer que
la série
a n est
convergente si L < 1 ;
divergente si L > 1.
(Règle de Cauchy)
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